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Sous-espace vectoriel maximal

Bonjour,

J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.

Réponses

  • Bonjour,

    Est ce que la somme de deux matrices diagonalisables dans deux bases différentes est diagonalisable ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    Considère, avant toute chose, $A+B$ où $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$.
  • Le théorème de Taussky-Motzkin implique que $p_n=n$.
  • Si on remplace $\C$ par $\R$, on a $p_n\geq \dfrac{n(n+1)}2$ mais je n'en sais pas plus.
  • L'ensemble des matrices diagonalisables n'étant pas un sous-espace vectoriel de ${\rm M}_n (\C )$ (cf. les autres messages), il vaudrait mieux reformuler la question en : "Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace de ${\rm M}_n (\C )$ formé de matrices diagonalisables ?"
  • Dans mon souvenir, le résultat est loin d'être trivial. Cette question est traitée dans l'épreuve de Mathématiques Générales de l'écrit de l'agrégation externe 2009.

    https://agreg.org/data/uploads/sujets/MG/MG09.pdf
  • Il y a aussi [Jean Fresnel] la même année !
  • numéro 125-1 de la RMS
    125e année – no1 - novembre 2014
    Le théorème de Motzkin-Taussky, Clément de SEGUINS PAZZIS
  • Merci Chaurien et Gay Requin. J'avais donné cette épreuve d'agrégation à mes agrégatifs, il y a quelques années.
  • Merci pour à tous pour vos références ! Si ma question initiale était ambiguë, je cherchais effectivement la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel inclus dans l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$.
  • Dans $\R$ la réponse est $\dfrac{n(n+1)}{2}$ et c’est relativement facile à montrer : il suffit d’utiliser les matrices symétriques et les matrices triangulaires strictement supérieures.
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