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Exercice de logique

$\alpha$ et $\beta$ deux réels de $[0,1]$
On pose :
$a=\alpha \beta$ ; $b=\alpha(1-\beta)+\beta(1-\alpha)$ ; $c=(1-\beta)(1-\alpha)$
Montrer que
$(a\geqslant \frac{4}{9}) \text{ ou } (b\geqslant \frac{4}{9}) \text{ ou } (c\geqslant \frac{4}{9})$.

Réponses

  • Bonjour.

    Deux remarques :
    1) Ce n'est pas de la logique, mais de l'algèbre. Demande à le replacer dans le bon sous-forum.
    2) La tradition, sur ce forum est de dire ce qu'on a essayé (voir "A lire avant de poster").
    3) Il est facile de voir que $a+b+c=1$, et qu'ils ne peuvent être égaux.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Une illustration.

    Cordialement,

    Rescassol128084
  • Vieux probleme avec interpretation probabiliste: si $X$ et $Y$ sont independantes de lois respectives
    $$\Pr(X=1)=\alpha=1-\Pr(X=0), \ \Pr(Y=1)=\beta=1-\Pr(Y=0)$$ alors $\max_{i=0,1,2}\Pr(X+Y=i)\geq 4/9.$ Pour le voir on observe que le trinome $$\mathbb{E}(s^{X+Y})=(\alpha s+1-\alpha)(\beta s+1-\beta)=as^2+bs+c$$ a toujours des racines et donc $b^2-4ac\geq 0.$ Et si $b<4/9$ on aura $ac<4/81$ et $a+c>5/9.$ Donc si $t>0$ on a
    $$(t-a)(t-b)=t^2-(a+c)t+ac<t^2-\frac{5}{9}t+\frac{4}{81}=(t-\frac{1}{9})(t-\frac{4}{9})$$Si $t=a$ on en deduit $0<(a-\frac{1}{9})(a-\frac{4}{9})$ et donc $a$ est exterieur a $[\frac{1}{9}, \frac{4}{9}].$ Dans le cas $a<1/9$ on a evidemment $c>4/9.$
  • On raisonne par l'absurde. On suppose $a,b,c <4/9$.

    Si $a=\alpha\beta<4/9$ et $b=\alpha+\beta-2 \alpha\beta <4/9$, alors $2a+b< 12/9=4/3$, donc $\alpha+\beta<4/3$.

    Si $c=1-\alpha-\beta+\alpha\beta<4/9$ et $b<4/9$, alors $2c+b<12/9=4/3$, donc $2-\alpha-\beta<4/3$, donc $\alpha+\beta>2/3$.

    $b=1/2-2(\alpha-1/2)(\beta-1/2)$. Soit $\alpha'=\alpha-1/2$, $\beta'=\beta-1/2$, alors $b<4/9$ implique $\alpha' \beta' >1/36$.

    $\alpha+\beta<4/3$ implique $\alpha'+\beta'<1/3$.
    $\alpha+\beta>2/3$ implique $\alpha'+\beta'>-1/3$.

    Soit $x=(\alpha'+\beta')/2$, $y=(\alpha'-\beta')/2$, alors $\alpha'=x+y$, et $\beta'=x-y$,

    $-1/6<x<1/6$ et $(x+y)(x-y)>1/36$ or $(x+y)(x-y)=x^2-y^2\leq x^2<1/36$, contradiction.
  • Merci pour vos aides
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