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Reste de la division d'un polynôme

Bonjour

On se donne le polynôme $P(X)$ et les nombres $a, b, c$ (distincts ou non) ; trouver le reste de la division de $P(X)$ par $(X - a)(X - b)(X - c)$ sans effectuer la division. (X 1880)

A+

Réponses

  • Bonsoir,

    Ben, le reste est du second degré au maximum et prend les mêmes valeurs que $P$ pour $x=a,b$ ou $c$, donc on a un système linéaire $3\times 3$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Et la matrice de ce système est une matrice de Vandermonde. On peut introduire les polynômes d'interpolation de Lagrange pour le résoudre. Si d'aventure $c=(a+b)/2$, on peut dire que \[\frac{1}{b-a}\int_a^bP=\frac16P(a)+\frac23P(c)+\frac16P(b),\]c'est la « formule des trois niveaux » qui conduit à la méthode de Simpson.
  • L'écriture suivante de ce reste quand $a,b,c$ sont deux à deux distincts permet de traiter (par continuité) les cas où $a,b,c$ ne sont pas distincts :$$P(a)+\frac{P(b)-P(a)}{b-a}(X-a)+\frac{\frac{P(c)-P(a)}{c-a}-\frac{P(b)-P(a)}{b-a}}{c-b}(X-a)(X-b)$$Par exemple, si $a=b$ et $a\neq c$, ce reste vaut :$$P(a)+P'(a)(X-a)+\frac{P(c)-P(a)-(c-a)P'(a)}{(c-a)^2}(X-a)^2$$Donc, si $a=b=c$, on retrouve :$$P(a)+P'(a)(X-a)+\frac{P''(a)}2(X-a)^2$$
  • RE

    Belle idée de déduire les cas spéciaux du résultat général.
    Personnellement, j'avais dérivé une ou deux fois le trinôme-reste et égalé icelui à $P'(a)$ ou à $P''(a)$ en $a$, etc.

    A+
  • RE

    En fait, le résultat pour $a = b = c$ découle directement de la formule de Taylor pour les polynômes.
    Peut-on donc considérer l'exercice comme l'esquisse d'une généralisation de la formule de Taylor ?

    A+
  • Oui, c'est pour ça que j'ai dit "On retrouve".
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