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Produit des diviseurs

Bonjour,

Trouver le produit des diviseurs d'un entier naturel.

A+
Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)

Réponses

  • On regroupe les diviseurs par deux, sauf quand l'entier en question est un carré.
  • C'est aussi $e^{\log \sigma(n)}$...

    Plus sérieusement, avec l'astuce suggérée par le suggère Poirot, c'est un vieil exercice de prépa que de montrer que
    $$\prod_{d \mid n} d = n^{\tau(n)/2},
    $$ où $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$ (usuellement noté $\tau(n)$ et plus tellement $d(n)$ comme j'ai pu le lire sur un autre fil).

    Plus généralement, si $f$ est une fonction arithmétique
    $$\prod_{d \mid n} d^{f(d)+f(n/d)} = n^{\sum_{d \mid n} f(d)}.
    $$ Par exemple
    $$\prod_{d \mid n} d^{\varphi(d)+\varphi(n/d)} = n^n.$$
  • @Méhdi Pascal 38 : Bon courage pour développer ton produit et en déduire la forme $n^{\frac{\tau(n)}{2}}$ !
  • Salut
    Poirot: c'est juste un raisonnement classique qui permet de calculer le nombre des diviseurs d'un entier, il est due à Legendre.128034
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