Produit des diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour,
Trouver le produit des diviseurs d'un entier naturel.
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Réponses
Plus sérieusement, avec l'astuce suggérée par le suggère Poirot, c'est un vieil exercice de prépa que de montrer que
$$\prod_{d \mid n} d = n^{\tau(n)/2},
$$ où $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$ (usuellement noté $\tau(n)$ et plus tellement $d(n)$ comme j'ai pu le lire sur un autre fil).
Plus généralement, si $f$ est une fonction arithmétique
$$\prod_{d \mid n} d^{f(d)+f(n/d)} = n^{\sum_{d \mid n} f(d)}.
$$ Par exemple
$$\prod_{d \mid n} d^{\varphi(d)+\varphi(n/d)} = n^n.$$
Poirot: c'est juste un raisonnement classique qui permet de calculer le nombre des diviseurs d'un entier, il est due à Legendre.