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Parallélogramme et transversale

Bonjour,

Dans un parallélogramme $ABCD$, on mène par $A$ une sécante qui coupe $BC$ en $E$ et $DC$ en $F$ ; quelle que soit la direction de la sécante, $BE.DF$ garde la même valeur.

A+

Réponses

  • Bonjour,

    Et le dessin ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir à tous
    Voici la figure réclamée par Rescassol.
    Je dois faire maintenant moi même les figures des autres de l'enfer.
    Je m'entraîne!
    C'est évidemment une trivialité (?) pour les sectateurs de l'Axiome de Thalès, i.e: la moitié du cours de géométrie.
    Par nostalgie envers la géométrie projective, on peut dire que l'application $E\mapsto F\ $ est une projectivité de la droite $BC\ $ sur la droite $CD$ de points limites $B\ $ et $D$ dans laquelle le point $C\ $ se correspond à lui même.
    Un étudiant d'autrefois sachant son cours de géométrie projective pouvait écrire directement:
    $$\overline{BE}.\overline{DF}=\overline{BC}.\overline{DC}\qquad$$
    Il y a mieux!
    Cette projectivité se prolonge en une transformation circulaire directe $f\ $ du plan circulaire!
    Quels en sont les points fixes et les points limites?
    Tracer si possible avec sa règle ébréchée et son compas rouillé l'image $M'=f(M)$ d'un point quelconque $M\ $ du plan.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus127898
  • Bonsoir, Pappus, bonsoir à tous,
    Comme tu dis, Pappus, c'est trivial, puisque même moi, j'ai réussi sans peine aucune à retrouver l'égalité que tu as indiquée ! Il suffit, en effet, de connaître "l'Axiome de Thalès" et les propriétés de tout bon parallélogramme, et ensuite de savoir faire joujou avec les proportions :
    (Thalès) BE/EC = AB/CF, (parallélogramme) AB = DC, d'où BE/EC = DC/CF, (échange des moyens dans cette proportion) BE/DC = EC/CF, (addition des numérateurs et des dénominateurs) BE/DC = (BE+EC)/(DC+CF) = BC/DF, (égalité des produits des extrêmes et des moyens) BE.DF = BC.DC.
    Je dois quand même reconnaître que c'est plus facile quand on sait au départ où aller et quelle direction prendre ...
    Pour ce qui est de l'application E ---> F, peut-on dire que le point C en est "l'élément neutre" ?
    Quant à la transformation circulaire directe f, je ne saurais en dire grand-chose, et c'est à peine si j'oserais m'aventurer à dire qu'il me semblerait raisonnable de penser que les points A et C en sont les points fixes ...
    Bien cordialement, JLB
  • Mon cher Jelobreuil
    Dans l'égalité que j'ai donnée, il y a des mesures algébriques sur lesquelles on pourrait d'ailleurs disserter un bon moment.
    Bien sûr il faut appliquer l'axiome de Thalès mais pas n'importe comment!
    Le mieux est encore de proposer une rédaction!
    Vais-je devoir m'y coller comme d'habitude?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bien cher Pappus,
    J'ai bien vu que tu avais utilisé des mesures algébriques, et j'en ai bien tenu compte dans mon ébauche de rédaction, car j'ai bien fait attention à écrire les segments comme si c'était des vecteurs, toujours dans le sens "de l'origine vers l'arrivée", une fois ce sens défini : par exemple, j'ai bien écrit "AB = DC" et non pas "AB = CD" ...

    Je reprends donc ma rédaction, en la développant, et en me basant sur la figure que tu as donnée :
    Les droites parallèles AB et DCF, les droites sécantes AEF et BEC, et le théorème de Thalès permettent d'écrire l'égalité des rapports de mesures algébriques BE/EC = AB/CF.
    Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, donc AB = DC (toujours en mesure algébrique).
    On peut donc écrire BE/EC = DC/CF, d'où l'on obtient, en échangeant les termes moyens, BE/DC = EC/CF, puis, en additionnant les numérateurs et les dénominateurs, BE/DC = (BE+EC)/(DC+CF) = BC/DF, d'où l'on tire BE.DF = DC.BC.

    Bien cordialement, JLB
  • Avec un minimum de LaTex, on peut écrire $\overline{AB}=\overline{DC}$ ("\overline{AB}=\overline{DC}" entre des $\$$).
    Et on continue à apprendre en le faisant (et en regardant comment les autres écrivent (bouton "citer", ou clic droit sur la formule/show maths as/TeX command) .

    Cordialement.
  • Merci Gérard de ces indications, dont je vais tâcher de tirer profit !
    Bien cordialement, JLB
  • Bonjour,

    1. G le point tel que ADFG soit un parallélogramme
    2. en considérant les parallélogramme complémentaires, le résultat est immédiat.

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour à tous
    Merci Jean-Louis pour ta solution, même si je ne sais toujours pas à mon âge canonique ce que sont des parallélogrammes complémentaires.
    Voici ma propre solution où j'applique de façon obstinée trois fois de suite l'Axiome de Thalès comme le bon petit sectateur que je suis devenu:
    $$\dfrac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{GA}}{\overline{GD}}=\dfrac{\overline{GB}}{\overline{GF}}=\dfrac{\overline{DC}}{\overline{DF}}\qquad$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Comme en géométrie euclidienne où on fait la chasse aux angles (orientés), on fait aussi la chasse aux rapports (de section) en géométrie affine et si la chasse est bien faite, on a pas le choix pour aller d'un rapport au suivant!!
    Pour retourner le fer dans la plaie, quelle est l'enveloppe de la droite $GE?\qquad$
    Et cent fois dans son sein, le fer a repassé!127934
  • Mon cher pappus,
    je suis toujours enthousiaste de t'entendre...
    Pour mon plaisir, je te renvoie à mon livre

    Ayme J.-L., Méthodes et Techniques en Géométrie, A propos de la Droite de Newton, Ellipses, Paris, 2003, p. 17-18.

    Ici tout va bien avec peu de Covid 19...

    Sincères amitiés
    Jean-Louis
  • Mon cher Jean-Louis
    Il y a longtemps que je le possède et je l'ai cité maintes fois sur notre forum!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Comment passer maintenant sur cette simple configuration de la géométrie affine à la géométrie circulaire?
    On peut vraiment dire que c'est d'une triste facilité!
    Bonjour Tristesse!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Je viens de tomber sur [ce message], mieux vaut tard que jamais !

    Soit $f$ la transformation circulaire de points limites $B$ et $D$ qui fixe $C$.
    L'autre point fixe est $A$.
    Soit $E\in BC$ et $F$ le point défini par Piteux_gore au début du fil.
    Pour tout point $M\neq B$, la similitude directe $BM\mapsto DC$ envoie $C$ sur $M'=f(M)$ donc $f(E)\in CD$.
    De même, l'homothétie $BE\mapsto DA$ envoie $A$ sur $f(E)$ donc $f(E)\in AE$.
    Donc $f(E)=F$, ce qui signifie que $f$ prolonge la projectivité (perspective ?) de pappus.
  • Tant qu'on y est, soit $A',B'$ les symétriques de $A,B$ par rapport à $D$ et $C$, $I$ le milieu de $AB$ et $J$ celui de $A'B'$.
    Alors l'enveloppe de la droite $GE$ est l'ellipse de diamètres conjugués $IJ$ et $CD$.128204
  • Merci Gai Requin
    Ue preuve de ta dernière affirmation?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Notons $p_A$ la perspective de centre $A$ qui envoie $BC$ sur $DC$ et $p_B$ la perspective de centre $B$ qui envoie $DC$ sur $AD$, de sorte que $p_B\circ p_A(E)=G$.
    Ainsi, les droites $(GE)$ enveloppent une conique $\cal C$ tangente à $BC$ et $AD$.
    De plus, $p_B\circ p_A(B)=A$ et $p_B\circ p_A(B')=A'$ donc $\cal C$ est inscrite dans le parallélogramme $ABB'A'$.
    La théorie des diamètres conjugués permet de conclure.
  • Merci Gai Requin
    Tu es devenu un champion de la défunte géométrie projective.
    En vieux français ta formule:
    $$G=p_B\circ p_A(E)\qquad$$
    signifie que les points $E\ $ et $G\ $ décrivent des divisions homographiques sur leurs droites respectives.
    Et d'après les théorèmes généraux la droite $GE\ $ enveloppe une conique que tu as brillamment identifiée.
    Petite colle:
    Quel est l'axe d'homographie de la correspondance $G\leftrightarrow E?\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • La droite $CD$ of course !
  • Bravo Gai Requin!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bravo à toi surtout !
    D'une minuscule configuration affine, tu nous as pondu une homographie du plan circulaire et surtout une homographie entre droites projectives pour dégoter cette ellipse-enveloppe sans aucun calcul !
    Bref, un bon petit exo d'oral d'agreg hein ;-)
  • Pour la question initiale, on peut aussi procéder de la façon suivante :

    $p_A$ est une homographie entre deux droites donc, par conservation du birapport, il vient :$$(E,C,B,\infty_{BC})=(F,C,\infty_{DC},D)=(C,F,D,\infty_{DC}).$$D'où l'égalité de rapports de section :$$\frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{DF}}.$$
  • Mon cher Gai Requin
    Un exo d’oral d’agreg?
    Tu veux rire!
    Alors que tout ce qu’ils connaissent en géométrie sont les axiomes de Thalès et de Pythagore!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour pappus,

    [La liste des leçons de l'oral d'algèbre et géométrie] pour montrer que tu exagères un peu ;-)
    Bon seules les leçons 161, 171, 181 et 191 obligent le candidat à mettre les pieds dans le plat de la géométrie.
    Mais j'ai dénombré 22 leçons où le sujet a beaucoup d'applications géométriques.
    Comme y invite clairement l’intitulé de l’épreuve, les exemples et applications motivés par la géométrie sont particulièrement bienvenus. Les thèmes relevant de la théorie des groupes se prêtent tout particulièrement à de telles illustrations.
  • Mon cher Gai Requin
    J'ai sous les yeux trente cinq leçons dont trois seulement font directement référence à la géométrie.
    Le reste sont des leçons d'algèbre comprenant de temps en temps le mot un peu vague d'applications!
    Les leçons épineuses sur les angles ont disparu.
    C'est pour le moins éloquent!
    Les axiomes de Thalès et de Pythagore?
    C'est effectivement tout ce qu'un bachelier sait en géométrie quand il arrive à l'université!
    Comment veux-tu alors qu'un agrégatif donne des applications géométriques même dans une leçon d'algèbre, c'est impossible!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
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