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Équation différentielle du premier ordre

Bonjour à tous,
je souhaite résoudre l'équation différentiel suivante.
$$
y{'}(x)+a(x)y(x)=b(x).

$$ Pour cela on fait la somme de la solution homogène et d'une solution particulière.
En posant $\int^{x}_{x_{0}} a( x) dx=A( x) -A( x_{0}) $,
on obtient la solution de l'équation homogène. $y_h =y_{0}e^{A( x_{0})-A(x) }$. Aucun problème.

Par contre je veux maintenant utiliser la méthode de la variation de la constante pour trouver une solution particulière.
On pose : $y=k\left( x\right) e^{A( x_{0}) -A\left( x\right) } $ et on obtient : $k{'}\left( x\right) e^{A( x_{0}) -A( x) }=b\left( x\right) $ ?
On intègre ensuite $k{'}$ pour trouver $k\left( x\right) =\int^{x}_{x_{0}} e^{A( t) -A( x) }b( t) dt$

Ma question est la suivante.
Pourquoi $k(x)$ est une solution particulière, puis cela devrait être $y_{p}=k\left( x\right) e^{A( x) -A( x_{0}) }\quad ?$

Réponses

  • Bonjour.

    Je ne comprends pas ta question. On a trouvé $k(x)$, qui n'est pas une solution particulière. Et la solution générale est bien $y=k\left( x\right) e^{A( x) -A( x_{0}) }$.

    L'utilisation de ce $x_0$ est malsaine, elle cache le fait que $k(x)$ dépend d'une constante, et le $A(x_0)$ ne sert à rien. Ce qui compte est que l'on a dans $y_h$ l'exponentielle de moins une primitive de $a$. Autant l'appeler directement $A(x)$.

    Cordialement.
  • Oui je crois voir qu'effectivement je n'utilise pas le $x_0$ correctement. Je vais reprendre. Merci.
  • Bonjour,

    Tu as écrit des trucs faux à la fin.

    Reprenons.

    $k’(t)e^{A(x_0)-A(t)}= b(t)$

    On exprime $k’(t)$ et on intègre entre $x_1$ et $x$ :
    $\displaystyle k(x)-k(x_1)=\int_{x_1}^x b(t) e^{A(t)-A(x_0)} dt $

    On peut choisir $x_1=x_0$ si l’on veut.

    Enfin, pour répondre à ta question, tu confonds deux méthodes de résolution.

    Soit solution homogène et solution particulière,
    Soit variation de la constante.

    La fonction $k$ n’a rien à voir avec une solution particulière. $k$ n’est pas solution.
  • Oui j'ai vu mon erreur. Merci.
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