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Prolongement par continuité

Bonjour
Je ne comprends pas l'exercice qui suit. Je l'avais déjà lu il y a quelques jours plusieurs fois je n'avais pas compris.
Voici le contexte, je suis dans le cours sur les limites et la continuité. Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés.

Prolongement par continuité définition.
Si $f$ possède une limite $\ell \in F$ en un point $a \in \bar{A} \setminus A$ alors l'application $$\begin{array}[t]{cccl}
\tilde{f} :& A \cup \{a \}& \longrightarrow &F \\
& x &\longmapsto &\begin{cases} f(x) & \text{si} \ x \in A \\ \ell& \text{si} \ x=a \end {cases}
\end{array}
$$ est continue en en $a$, et s'appelle prolongement de $f$ par continuité en $a$.

Exercice (approfondissement).
Soit $X \subset A$ dense dans $A$ et $f : X \longrightarrow F$ une application continue en tout point de $X$. On suppose que $f$ admet une limite finie en tout point de $A \setminus X$.
Montrer que $f$ admet un prolongement $\tilde{f} : A \longrightarrow F$ continu en tout point de $A$.
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Réponses

  • Traduire les hypothèses d'un énoncé, c'est du niveau collège ou normale sup ?
  • Une petite question concernant l'énoncé. On parle de limite finie
    Alors, qu'est ce que cela peut être une limite non finie?
  • Homo Topi je ne comprends pas ce qu'on doit montrer.

    Ma solution :
    $f$ admet une limite en tout point de $X \setminus A$ donc $f$ est prolongeable par continuité donc son prolongement est continu.

    @Bd2017
    Bonne question. Je n'ai pas compris la différence entre la définition du prolongement par continuité sur $\R$ et dans un espace vectoriel normé.

    Dans un espace vectoriel normé la limite au point où on veut prolonger ne doit plus être finie ?
  • Il est écrit dans le cours :

    Définition :
    On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $l \in F$ tel que $f \longrightarrow l$ en $a$. Cet unique élément $l$ s'appelle alors la limite de $f$ en $a$ et se note $\lim_a f$

    $l$ peut-il être infini dans un espace vectoriel normé :-S
  • Bon, allez, exercice de lecture d'énoncé.

    Tu as $X$ qui est dense dans $A$ et une application $f$ qui est définie et continue sur $X$. On te demande de montrer qu'il existe une fonction $\tilde{f}$ définie et continue sur $A$ qui "prolonge" $f$. Qu'est-ce que ça peut-y bien vouloir dire, ça, hm ?
  • On peut poser, pour tout $a\in A$, $\tilde{f}(a)=\lim\limits_{\substack{x\to a\\x\in X}}f(x)$.
    a) Expliquer pourquoi $\tilde{f}$ prolonge $f$.
    b) Soit $a\in A$ et $\varepsilon >0$.
    Par définition, $\exists\delta>0\;\forall x\in X\quad\left\|x-a\right\|<\delta\Rightarrow\left\|f(x)-\tilde{f}(a)\right\|<\dfrac{\varepsilon}2$.
    Montrer que $\forall x\in A\quad\left\|x-a\right\|<\delta\Rightarrow\left\|\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)\right\|<\varepsilon$.
  • @OS
    J'ai une question :
    Peux-t-on prolonger en $0$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ (définie sur $\R^*$) ?
  • Mais le cours dit que le prolongement est automatiquement continu, pourquoi on va démontrer qu'il est continu ?

    La limite $l \in F$ dans le cours est-elle forcément finie ?

    Ces deux questions m'empêchent de comprendre l'énoncé.

    @Gain Requin
    Merci mais je bloque sur la question $a$. Je ne vois pas qui est le $\bar{A} \backslash A$ du cours ici.

    $X$ est dense dans $A$ donc $A \subset \bar{X}$.

    Pour la question $b$ je n'ai pas encore cherché assez à voir.
  • @JLapin
    Non car la limite au voisinage de $0$ est infinie.

    Mais dans le cours de première année je comprends la définition du prolongement par continuité, pas dans le cours de MP. Pourquoi on ne précise pas si $l$ est finie ?
  • Os a écrit:
    $l$ peut-il être infini dans un espace vectoriel normé :-S

    Dans ce cadre, en général si on dit que la limite est infinie cela veut dire que c'est ||f(x)|| qui tend vers l'infini.
  • Tu prouves que tu ne connais pas bien ton cours. Du moins, pas les résultats utiles dans ce contexte.

    Sais-tu dire autre chose que $A \subseteq \overline{X}$ à partir de "$X$ est dense dans $A$" ?
  • OShine http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2317274,2317380#msg-2317380
    Vu que tu n'as pas réussi à répondre à la question que je t'ai posée, je te conseille d'abandonner rapidement cet exercice avant d'y consacrer plusieurs jours.

    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
  • @OS : Je t'ai déjà découpé l'exercice suffisamment, il n'y a plus qu'à dérouler.
    Répondre à d'autres questions, c'est donner la solution.
  • OShine a écrit:
    Mais le cours dit que le prolongement est automatiquement continu, pourquoi on va démontrer qu'il est continu ?

    Non. D'ailleurs tu remarqueras qu'il est inscrit entre parenthèse juste au dessus de l'énoncé de l'exercice : 'approfondissement'.
  • Quand tu prolonges en un point, l'application obtenue est continue juste en ce point.
    Quand tu prolonges sur plusieurs points, tu sais par définition que f(y) tend vers f(x) si y est assez proche de x dans l'ensemble non prolongé. Mais tu ne sais rien sur la distance de f(x) à f(y) si y n'est pas dans l'ensemble de définition d'origine.
  • Tiens, un autre exo pour OS sur ce thème.

    Soit $f$ définie sur $\R\setminus \Q$ par $f(x)=x$ pour tout $x\in \R\setminus \Q$.

    On pose aussi $f(0)=0$.

    Expliciter un prolongement de $f$ sur $\R$ tout entier qui ne soit pas continu en $0$.
  • Et d'ailleurs, explique donc pourquoi il y a une hypothèse de densité. C'est vrai, si le prolongement était continu "par définition", pourquoi s'embêter à rajouter des hypothèses farfelues ?
  • Une prédiction sur la future réponse d'OShine à l'exo de JLapin : "Je ne sais pas définir de prolongement non continu d'une fonction, ils n'en ont jamais parlé dans mon livre."
  • L'échelle d'OShine :

    1. Je ne lis même pas
    2. C'est du chinois
    3. Je ne vois pas le rapport avec l'exercice
    4. Je ne vois pas pourquoi vous me posez des questions si compliquées alors que je bute déjà sur un exercice depuis plusieurs jours
    5. Je ne comprends pas le corrigé
    6. Je ne comprends pas le corrigé du corrigé par les membres du forum
    7. Normal que je ne comprenne pas, le rapport du jury a dit que seuls 26,3% des candidats ont su répondre
    8. Ah oui, quand je teste sur des exemples simples comme on me le dit ça marche
    9. Je ne vois pas ce qu'il y a de faux dans ma démonstration
    10. Je suis suffisamment fort puisque je suis certifié pour enfoncer des lycéens débutants qui posent des questions triviales pour moi ou juger de la pertinence d'un concours

    Le stade "je résous l'exercice comme un grand sans tricher" étant de mesure nulle il n'est pas inclus.
  • OShine a écrit:
    $X$ est dense dans $A$ donc $A \subset \bar{X}$.

    OShine une question en passant : est-ce que $\bar{X}=A$ selon toi ?
  • Raoul.s non.

    Car si $A=] 0,1[$ et $X=[0, 1]$

    JLapin il suffit de la prolonger en la fonction nulle sur les rationnels. Il y aura des sauts de continuité.

    Gain Requin d'accord j'y réfléchis encore.
    Mon livre utilise la caractérisation séquentielle j'ai regardé de loin mais sans lire vraiment.
    Mais travailler avec les epsilon ne me dérange pas normalement.
  • Comme il se fait tard je pose la question suivante. Le prolongement continu est-il unique?
  • Oui par unicité de la limite.
  • Par contre je ne comprends pas pourquoi j'ai faux quand je dis qu'on ne peut pas prolonger par continuité la fonction $x \mapsto 1/x$ définie sur $\R^{*}$ :-S

    La limite en $0$ par valeurs supérieures ou inférieures est infinie !
  • @OS
    Tu réponds complètement à côté de la plaque aux deux questions que j'ai posées qui sont beaucoup beaucoup plus simples que l'énoncé initial...
    Les photos de la correction ne vont pas tarder à arriver après plusieurs jours de brave galère...
  • JLapin
    Pourquoi aller chercher d'autres exos pour OShine ?
    Le mieux, ce serait de lui proposer un exercice qu'il a lui-même posté ici il y a 2 ou 3 semaines. Tous ceux qui l'ont aidé vont immédiatement reconnaître l'exercice, mais on parie que pour OShine, ce sera un exercice totalement nouveau ? On parie que 2 ou 3 semaines plus tard, il sèchera à nouveau complètement sur l'exercice, comme au premier jour ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Peut-on prolonger une fonction de façon non continue ?
  • Homo Topi bien sûr qu'on peut.

    JLapin ok j'ai mal lu, oui on peut prolonger en $0$ la fonction $x \mapsto 1/x$ définie sur $\R^{*}$.

    Par exemple je peux la prolonger en la fonction : $$\begin{array}[t]{cccl} \tilde{f} :& \R^{*} \cup \{0 \}& \longrightarrow &\R \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} 1/x & \text{si} \ x \in \R^{*} \\ 1 & \text{si} \ x=0 \end {cases} \end{array} $$
  • @lourran

    Évidemment qu'il sèchera sur les exos d'il y a un mois !
    Mais j'avoue que j'avais un très vague espoir sur le prolongement de $1/x$ et sur l'exo suivant...
  • Pour l'exercice $2$ :

    $$\begin{array}[t]{cccl} \tilde{g} :& (\R \backslash \Q) \cup \Q & \longrightarrow & \R \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} x & \text{si} \ x \in R \backslash \Q \\ 0 & \text{si} \ x =0 \\ 5 & \text{si} \ x \in \Q^{*} \end {cases} \end{array} $$

    $ \tilde{g}$ n'est pas continue en $0$.
  • $\R \setminus \R \cup \Q$, certes...
  • Voilà.
    Je pense que personne ne t'en voudra si tu quittes ce fil et que tu passes à autre chose.

    Sauf si tu souhaites tenter de proposer une démonstration du fait que ta fonction $\tilde g$ n'est pas continue en $0$ ?
  • OShine a écrit:
    Mon livre utilise la caractérisation séquentielle j'ai regardé de loin mais sans lire vraiment.


    D'habitude tu dis que tu "connais ton cours par coeur". Les humains normaux pensent que tu parles de l'intégralité du cours quand tu dis ça. Forcément si tu n'apprends pas tout...

    J'avais essayé de t'aiguiller sur la caractérisation séquentielle ici déjà. Avec ça et le travail pré-mâché par gai requin, ça aurait dû être déjà réglé...
  • Gai Requin je n'ai pas compris ta notation étrange$\tilde{f}(a)=\lim\limits_{\substack{x\to a\\x\in X}}f(x)$ :-S Ton prolongement n'a aucun sens, $f$ est déjà définie sur $X$ il faut la prolonger en dehors de $X$.
    Comme je ne comprends pas ton prolongement je ne peux pas suivre ton indication qui suit.

    Le prolongement que je trouve est :

    $$\boxed{\begin{array}[t]{cccl} \tilde{f} :& X \cup (A \backslash X) & \longrightarrow &F \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} \lim\limits_{x} f(x) & \text{si} \ x \in X \\ \lim\limits_{x} f(x) & \text{si} \ x \in A \backslash X \end {cases} \end{array} }$$

    Ce prolongement est bien défini car les limites de $f$ pour $x \in X$ et $x \in A \backslash X$ existent de part les hypothèses données.

    Sans regarder la suite du corrigé, la première ligne dit : "montrons par caractérisation séquentielle, que $\tilde{f}$ est continue en tout point de $a$."

    On prend une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et on doit montrer que $\tilde{f} (x_n)$ tend vers $\tilde{f}(x)$.
  • Tu ferais mieux de dire que tu ne comprends pas au lieu de dire que ça n'a aucun sens, tu n'as vraiment pas l'autorité pour affirmer une chose pareille.
  • OShine écrivait:
    > On prend une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et
    > on doit montrer que $\tilde{f} (x_n)$ tend vers
    > $\tilde{f}(x)$.


    Et tu bloques ici ?
    C'est étonnant...
  • JLapin il me semble difficile de montrer théoriquement que $\tilde{g}$ n'est pas continue en $0$. Mais je pense avoir trouvé une solution.

    $\tilde{g}$ n'est pas continue en $0$ si et seulement si $\exists \varepsilon >0 \ \ \forall \eta >0 \ \exists x \in \R \ \ |x| \leq \eta \ \text{et} \ |f(x)| > \varepsilon$

    Fixons $\eta >0 $ et $\varepsilon = \min \{ 5 , \eta/2 \} >0$

    Soit $- \eta <x<\eta$. Si $\eta$ est rationnel, alors pour $x = \eta/2$ on a $|x| \leq \eta$ et $|f(x)|=5 > \varepsilon$

    Si $\eta$ est irrationnel, alors toujours pour $x = \eta /2$, on a $|x| \leq \eta$ et $|f(x)|= \eta /2 > \varepsilon$


    Homo Topi
    Je n'ai rien compris au prolongement de Gai Requin mais j'ai trouvé un prolongement et celui du corrigé de mon livre ressemble au mien.
    Mais à avoir la longueur du corrigé du livre et la technicité, cet exercice me semble infaisable pour moi et pour une grande majorité des gens.
  • Tu ne sais pas du tout s'il est "infaisable pour une grande majorité des gens".

    Mais si tu as besoin de faire cette gymnastique mentale pour te persuader que c'est normal que tu n'y arrives pas... pourquoi avoir essayé cet exercice ?
  • Il y a plein d'erreurs dans ta preuve.
  • Je crois que le $\epsilon$ ne doit pas dépendre de $\eta$. Ça doit être la plus grosse erreur de logique.

    Mais je n'ai pas réussi a trouver un epsilon qui ne dépend pas de eta.
  • @OS : J'aurais pu noter $\tilde{f}(a)=\lim\limits_{x\to a}f(x)$, le $x\in X$, c'était pour enfoncer le clou.
    L'énoncé dit que cette limite existe pour $a\in A\setminus X$.
    Si $a\in X$, cette limite vaut $f(a)$ par continuité de $f$, ce qui prouve au passage que $\tilde f$ prolonge $f$.
    Tu peux passer à ma question b) qui se rédige en trois lignes !
  • Gain Requin c'est le $x \in X$ qui m'a perturbé. Mais sachant que $\bar{X} \subset A$, ça parait logique car on étudie une limite dans l'adhérence de l'ensemble de départ.

    C'est bizarre car le corrigé de mon livre fait 15 lignes minimum. Pourquoi ils n'ont pas choisi la méthode élémentaire ?

    Soit $\varepsilon >0$ et $a \in A$. Il existe $\delta >0$ tel que $\forall x \in X$, $||x-a|| \leq \delta \implies ||f(x)-\tilde{f}(a)|| < \varepsilon /2$

    Soit $x \in A$ tel que $||x-a|| \leq \delta$.

    On a $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)||= ||\tilde{f}(x)- f(x) + f(x)- \tilde{f}(a)||$

    D'après l'inégalité triangulaire, $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|| \leq||\tilde{f}(x)-f(x)|| +||f(x)-\tilde{f}(a)||$

    Donc $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|| \leq ||\tilde{f}(x)-f(x)|| + \dfrac{\varepsilon}{2}$

    Je bloque ici car je n'arrive pas à expliciter $ ||\tilde{f}(x)-f(x)|| $
  • Arrête de regarder ce corrigé et cet exercice : tu ne sais même pas démontrer une non continuité en $0$ d'une fonction élémentaire...
  • Au vu de ce message, cela peut être délicat d'enseigner en lycée. Et tu es dans la démarche de progresser.
  • @OS : Moi, c'est gai requin et pas Gain Requin hein !
    Et il faut peut-être utiliser la densité de $X$ dans $A$ à un moment donné...
  • D'ailleurs si X n'est pas dense tu nous ferais un petit contre-exemple pour le déjeuner ?
  • JLapin
    Il me semble plus simple de raisonner par caractérisation séquentielle.
    Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n =1/n \longrightarrow 0$ on a $\tilde{g} (u_n)=5$ et la suite $(v_n)$ définie par $v_n=0$ on a $\tilde{g} (v_n)=0$

    Comme $0 \ne 5$ alors $\tilde{g}$ n'est pas continue en $0$.

    Gai Requin

    $X$ est dense dans $A$ donc $\forall a \in A \ \ \exists y \in X \ \ ||a-x|| \leq \varepsilon$. Mais je ne vois pas comment l'utiliser. Je bloque toujours avec le $||\tilde{f} (x)- f(x) ||$.
  • RLC
    Pour le contre-exemple, on prend $X=\{0 \}$ et $A= \R$. On a bien $X \subset A$ l'adhérence de $X$ ne contient pas $A$.
    Ainsi, $\{0 \}$ n'est pas dense dans $\R$.

    Soit $f$ définie sur $X$.
    Soit $f(x)= 1$ si $x=0$ et on suppose que $f$ admet une limite finie égale à $1$ en tout point de $\R^{*}$.
    $f$ admet un prolongement qui n'est pas continu en tout point de $A$, en effet, ce prolongement n'est pas continu en $0$.
  • b) Soit $x\in A$ tel que $\left\|x-a\right\|<\delta$.
    $X$ est dense dans $A$ donc il existe une suite $(x_n)$ de $X$ telle que $\lim x_n=x$.
    En particulier, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout entier $n\geq n_0$, $\left\|x_n-a\right\|<\delta$ ce qui implique $\left\|f(x_n)-\tilde f(a)\right\|< \dfrac{\varepsilon}2$. $(*)$
    Or, $\lim f(x_n)=\tilde f(x)$ donc, en faisant tendre $n\to +\infty$ dans $(*)$, il vient $\left\|\tilde f(x)-\tilde f(a)\right\|\leq \dfrac{\varepsilon}2<\varepsilon$.
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