Variété lisse et compacte — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Variété lisse et compacte

Modifié (November 2021) dans Géométrie différentielle
Bonjour,

Prouver qu'une variété lisse et compacte de dimension $n$ ne peut pas être encastrée plongée dans $\mathbf{R}^{n}$.

Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    Quelle est la définition mathématique de "encastrée" ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Salut,

    J'ai corrigé.
  • Bonjour,

    Des idées ?
  • Si $f$ est un plongement de la variété compacte $K$ dans $\R_n$, alors $Df$ est une application linéaire injective en tout point de $K$. Or la dimension de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée est la même car $\dim K= \dim \R^n=n$, donc $Df$ est un isomorphisme en tout point $x$ de $K$. D'après le théorème d'inversion locale, il existe $U$ un voisinage ouvert de $x$ et $V$ un voisinage ouvert de $f(x)$ tels que $f$ restreint à $U$ est un homéomorphisme entre $U$ et $V$. Donc pour tout $x$ de $K$, $f(K)$ contient un voisinage ouvert (dans $\R^n$) de $f(x)$. Donc $f(K)$ est un ouvert de $\R^n$.
    L'image d'un compact par une application continue est un compact donc fermé. Donc $f(K)$ est aussi fermé dans $\R^n$. $\R^n$ est connexe, donc $f(K)$ est $\emptyset$ ou $\R^n$.
    Donc $K$ étant non vide, $f(K)$ est $\R^n$, mais $f(K)$ doit être compact. Contradiction.
  • il faut préciser "sans bord" pour la variété, non ?
  • Je n'ai pas lu la preuve de marco, mais le disque unité fermé me paraît bien être une variété lisse et compacte (avec bord) de dimension 2, qu'on peut plonger dans $\R^2$ (via l'application identité).
  • oui, c'est pour cela qu'il faut préciser "sans bord" dans l'énoncé initial,  non ?
  • Pour certaines personnes une variété est automatiquement sans bords. Il y a donc les variétés tout court dont tous les points ont des voisinages homéomorphes à un ouvert de $\R^n$ et les variétés à bords.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!