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Polynôme de Z[X]

Bonsoir à tous.
J'ai une question concernant les polynômes à coefficients dans Z. Ma question est la suivante.

Est-ce qu'on peut trouver une famille infinie de polynôme unitaire de degré n fixé dont les racines ont un module inférieur ou égal à 1.

Merci d'avance.

Réponses

  • La réponse est non à cause des relations coefficients racines.
    Essaye de le prouver.

    Edit : modifie ton message pour dire qu'un entier naturel non nul $n$ est fixé et qu'on cherche des polynômes unitaires.

    Sinon, tous les polynômes de la forme $a(X-1)^n$ où $a$ décrit $\Z^*$...
  • Edit : j'ai mal lu l'énoncé (td)
  • Ou $X^n$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Gai requin:
    n est fixé.
  • JLapin.
    Je n'ai pas compris comment le raisonnement sur les relations coefficients racines va aboutir à quelque chose.
  • Il n'aboutira à rien si tu ne modifies pas l'énoncé...
  • Les polynômes de la forme $P_n(x)=x^n-x^{n-1}-x^{n-2}-x^{n-3}+1$ avec $n\geq 4$, forment un ensemble infini et, sauf erreur, ils ont tous une racine comprise dans l'intervalle $]0,1[$.

    PS:
    J'ai mal lu l'énoncé:
    Considérons plutôt:
    $Q_n(x)=x^4-x^3-x^2-nx+1$ avec $n\geq 1$ un entier.
    C'est un ensemble infini de polynômes de degré $4$ et chacun de ces polynômes a une racine dans l'intervalle $]0,1[$.
  • @FDP
    L'entier $n$ est fixé
  • JLapin:
    J'ai modifié mon message ;) (j'espère que je ne suis pas allé trop vite)

    PS:
    Ce n'est pas une seule racine mais toutes les racines donc mon nouvel exemple est encore à côté de la plaque. Désolé pour le dérangement. :-D
  • FDP:
    Comment construire un tel exemple ?
  • Montrons qu'un polynôme qui a toutes ses racines dans l'intervalle $]0,1[$ ne peut pas avoir tous ses coefficients entiers.

    Tout polynôme $P(x)=x^n+....$ peut s'écrire $P(x)=(x-x_1)....(x-x_n)$ avec $x_1,...x_n$ ses $n$ racines (qui ne sont pas nécessairement distinctes)

    Supposons que tous les coefficients de $P$ soient entiers.
    $P(1)$ est un entier non nul.

    $P(1)=(1-x_1)...(1-x_n)$ ne peut pas être un entier, les $1-x_i$ sont des nombres positifs plus petits que $1$ mais non nuls.

    En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

    PS:
    Prendre la valeur de $P$ en $0$ est plus simple que de prendre la valeur en $1$. :-D
    (Merci à Badrino)
  • @Bardino

    Es-tu conscient que la réponse à la question précise que tu poses est dans l'un de mes messages ?
  • FDP:
    Je pense que c'est valable juste si P n'admet que des racines réelles.
  • JLapin es-tu conscient que la réponse à la question précise que tu poses est dans les messages de Badrino ? B-)-
  • JLapin:
    J'ai modifié l'énoncé.
  • Ok, alors pour commencer, essaye de montrer que si $P$ est un tel polynôme, alors son coefficient devant $p_{n-1}$ est compris entre $-n$ et $n$.
  • Badrino:

    Oui bien sûr mais j'ai l'impression qu'on peut suivre une voie analogue dans le cas où les racines sont toutes de module inférieur ou égal à $1$.

    Il me semble qu'on peut majorer $\left|1-r\text{e}^{it}\right|$ quand $0< r\leq 1$ et $t\in \mathbb{R}$.
    (pas bestialement s'entend).

    PS:
    Cela ne marche pas, ces nombres n'ont aucune raison d'être tous inférieurs à $1$.
  • FDP:
    Au lieu d'évaluer par 1 on obtient en évaluant par 0
    P(0)=(-1)n*produit des racines, donc P(0) va être inférieur ou égal à 1.Donc forcément P(0)=1 ou-1.
  • Jlapin:
    On utilise l'inégalité triangulaire sur la somme des racines.
  • Badrino: Si toutes les racines sont sur le cercle unité il n'y a pas de contradiction.

    La solution ébauchée par JLapin me semble plus prometteuse.

    PS:
    L'énoncé parle d'une famille infinie de polynômes. Probablement que si on retire le mot infini cela ne marche plus.
  • FDP:
    On a juste obtenu une condition sur p(0).
  • Badrino: mais aucune contradiction.

    Il suffit qu'une seule racine ne soit pas sur le cercle unité pour qu'il y ait une contradiction.

    Le fait de savoir que le coefficient constant est $1$ ou $-1$ nous amène à affirmer que $1$ ou $-1$ est racine du polynôme si je vois bien. Mais cela ne nous avance guère.

    Il ne faut pas oublier l'hypothèse que la famille de polynômes est infinie (avec tous le même degré).
  • FDP.
    Je pense qu'on peut faire le même raisonnement qu'à proposé JLapin sur toutes les relations coefficients racines ainsi on obtient que le choix des coefficients qu'on peut donner à notre polynôme qui vérifie les conditions de l'énoncé est limité. Donc on ne peut pas trouver une famille infinie.
  • Bonsoir.

    $P(x) = n × x^2 +x$

    À bientôt.

    Édit : Pour un polynôme de degré $n$, je ne vois pas de manière générale, d'autant qu'il n'est pas unitaire.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Dreamer:
    Il n'est pas de degré n.
  • Donc on ne peut pas trouver une infinité de polynôme. Puisque notre choix de coefficients est limité.127822
  • Autre tentative :

    $P(x)=x^n-x=x ( x^{n-1} - 1)$.

    Celui là est bien de degré $n$, est unitaire et ses éventuelles racines autres que 0 ont un module de 1 car racines $n$ièmes de l'unité.

    À bientôt.

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  • Comme déjà indiqué par JLapin on a seulement à considérer le coefficient du monôme de degré $n-1$ si le polynôme est de degré $n$. (ce coefficient est borné en valeur absolue par $n$)
  • Dreamer:

    Tu fais la même erreur que moi.

    L'énoncé précise que tous les polynômes de cette famille infinie ont tous le même degré.
    Si on enlève une de ces hypothèses cela devient faux.
  • Dreamer:
    C'est juste un seul polynôme, on cherche une famille pour un degré n fixé.
  • FDP:
    Merci beaucoup.
  • Bonne continuation.

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  • FDP:
    Fixer un seul coefficient ne résoud pas le problème il faut que tous les coefficients soient bornés comme j'ai fait dans l'avant dernier message.
  • Badrino:

    Oui, en effet. $x^2+x+n$ est bien une famille infinie de polynômes avec le coefficient du monôme de degré $1$ borné. :-D
    Je crois que je ferais mieux d'aller me coucher.
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