Racine nième et somme — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Racine nième et somme

Bonjour,
Soient $n\in \N,\ p\in\C$ tel que $|p|<1$. On désigne par $p_0, \ldots, p_{n-1}$ les n racines de $p$.
On a $$
\frac{1}{1-pz^n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1-p_kz}\ , \qquad |z|<1.
$$ Est-il possible de calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k}{1-p_kz}$ et $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{p_k(1-p_kz)}$ et obtenir à la fin une formule qui s'écrit uniquement en fonction de $z$ et de $p$, et qui ne fait plus intervenir les $p_k$ ?
Je m'explique, par exemple dans le cas $n=2$ on a $$
\sum_{k=0}^{1}\frac{p_k}{1-p_kz}=2\frac{pz}{1-pz^2}\ ,
$$ qui est une expression qui ne dépend plus des $p_k$.
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonjour
    Oui c'est possible. Essaye de voir la décomposition en éléments simples de

    $f(z)=\dfrac{z^j}{1-pz^n},$ avec $j=1,2$ ou $3$.

    P.S la restriction $|z|<1$ n'est pas utile...
  • Vous voulez dire $\displaystyle f(z)=\frac{z^j}{1-pz^n}$ ?
  • Oui merci ! J'ai décomposé $\displaystyle f(z)=\frac{z}{1-pz^n}$ et $\displaystyle f(z)=\frac{z^{n-1}}{1-pz^n}$ et j'ai la réponse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!