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Somme

Bonjour à toutes et à tous,
j'espère que vous allez bien.

Je voudrais calculer cette somme en fonction de $n$ :
$\forall n \in \mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^{n} 3^k(n-k)$. J'essaierai ensuite de généraliser en remplaçant $3$ par un nombre constant réel quelconque.
Je n'y arrive pas. J'ai essayé d'appliquer la formule suivante :
$\forall q \in \mathbb{R}, \sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$ mais "ça ne marche pas" si je puis me permettre car les "coefficients" (je ne sais comment les appeler) varient...

Vous remerciant d'avance,
Mohammed R.

Réponses

  • Dérive ta formule par rapport à $q$.
  • Pour simplifier un peu tu peux procéder au changement de variable dans la somme $m=n-k$
  • \begin{align}S_n& = \sum_{k=0}^{n} 3^k(n-k)\\
    &\overset{m=n-k}=\sum_{m=0}^{n} 3^{n-m} m\\
    &=3^n\sum_{m=0}^{n} 3^{-m} m\\
    \end{align}

    Après, on suit l'indication de GaiRequin.
  • Autre méthode : \[\sum_{k=0}^n3^k (n-k)=\sum_{k=0}^n \sum_{p=k+1}^n3^k\] et on intervertit les sommes avant d'appliquer deux fois la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique.
  • C'est bon !

    Merci infiniment à vous 3
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