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L'ordre d'un groupe

Bonjour à tous.
J'ai une question sur l'ordre d'un élèment.
Si elle n'est pas vrai toujours dans quels cas peut-on l'utiliser. Merci d'avance.127752

Réponses

  • $o(y)$ est toujours égal à $b$.
  • Par définition de $x$, aucun des $x^{a},x^{2a},x^{3a},...,x^{(b-1)a}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe tandis que si $e$ est l'élément neutre on a $x^{k}=x^{ab}=e$ (par définition de $x$). Donc $x^a$ est d'ordre $b$.

    NB:
    Si $k$ est l'ordre de $x$ cela signifie qu'aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe et réciproquement si aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément du groupe et que $x^k$ est égal à l'élément neutre cela signifie que $k$ est l'ordre de $x$.

    PS:
    $x^{am}=(x^a)^m$
  • Donc est-ce que on peut trouver toujours un élément dont l'ordre égale à l'un des diviseurs du cardinal du groupe ?127754
  • Badrino:

    Si ce diviseur est un nombre premier $p$ on peut trouver un élément d'ordre $p$.
  • Badrino a écrit:
    Donc est ce que on peut trouver toujours un élément dont l'ordre égale à l'un des diviseurs du cardinal du groupe ?

    Est-ce qu’il y a des éléments d’ordre 12 dans $\mathfrak{S}_4$ ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Mais si la question est: soit $d$ un entier naturel non nul qui divise l'entier naturel non nul $n$ existe-t-il toujours un élément d'ordre $d$ dans un groupe d'ordre $n$?
    La réponse est non.
  • Quelle est alors la faute que j'ai commis dans le message précédent?
  • Fin de partie:
    Je pense qu'elle vrai dans le cas où le groupe est cyclique ?
  • Nicolas. Patrois:
    Est-ce que je dois tester tous les éléments de $\mathfrak S_4$ ?
  • Badrino: si le groupe est cyclique on a bien l'existence d'un élément d'ordre un diviseur de l'ordre du groupe.

    Ton erreur est que si on a $a^d=e$ on ne peut pas en déduire que $d$ est l'ordre de $a$ mais seulement que l'ordre de $a$ divise $d$.
  • Fin de partie:
    Je n'arrive pas à trouver la différence entre ce que j'ai fait et la question que j'ai posé au départ. Si on a O(y) =b est ce qu'on ne peut pas conclure immédiatement que O(x) =Pi^(ai).
  • Badrino : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316768#msg-2316768
    Oui c'est un très bon exercice pour mieux apréhender $\mathfrak S_4$.

    Un exemple plus petit est le groupe $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est d'ordre $4$, formé d'un élément d'ordre $1$ : le neutre $(0,0)$ et de trois éléments d'ordre $2$ : $(1,0),\ (0,1),\ (1,1)$, donc pas d'élément d'ordre $4$, et pourtant $4$ divise l'ordre du groupe.
    En revanche, comme l'indique FdP, on montre qu'un groupe d'ordre $n$ qui admet un élément $a$ d'ordre $n$ est cyclique isomorphe à $\Z/n\Z$, et que pour tout diviseur $d$ de $n$ l'élément $a^{n/d}$ est d'ordre $d$.
    Alain
  • Badrino : dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316752#msg-2316752
    tu écris $x=\alpha^{n/p_1^{\alpha_1}}$, mais tu n'as pas dit ce qu'était $\alpha$ ? Un tel élément $\alpha$ d'ordre $n$ n'existe pas dans un groupe en général. On montre qu'il en existe un si, et seulement si, le groupe est cyclique d'ordre $n$, donc isomorphe à $\Z/n\Z$.
    Alain
  • Alain:
    J'ai compris votre exemple. Donc ce que j'ai fait pour alpha s'applique sur y. je n'ai pas le droit de faire o(y) =b.
  • Badrino
    Ben non, l'exemple suivant avec un ordre strictement plus petit est le groupe $G=(\Z/2\Z)^3$, qui est d'ordre $8$, dont tous les éléments sont d'ordre $1$ ou $2$, donc pas d'élément d'ordre $4$ diviseur strict de $8$.
    Badrino a écrit:
    je n'ai pas le droit de faire o(y) =b.
    Si tu as le droit, mais tu dois montrer qu'il existe un tel élément $y$ d'ordre $b$. Ce que tu n'as pas fait.
    Et si tu essayes de le faire, tu vas te rendre compte que c'est équivalent à montrer l'existence d'un $x$ d'ordre $n$, donc que le groupe est cyclique.
    Alain
  • Alain:
    Pour ma question de départ ce que j'ai écrit n'est pas correct il faut donc préciser le y.
  • Merci énormément j'ai pu enfin comprendre grâce à vous.
  • Badrino. Ce que tu as écrit au départ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316742#msg-2316742 est correct.
    Tu supposes l'existence d'un élémént $x$ d'ordre $k$ (ce qui est faux pour un groupe en général${}^1$) alors si $k=a\times b$, tu peux en effet toujours trouver un élément d'ordre $b$.
    Le message de FdP qui suit http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316750#msg-2316750 en fait la démonstration.
    Alain

    ${}^1$ Sauf si, comme indiqué par FdP http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316756#msg-2316756, $k$ est un nombre premier divisant l'ordre de $G$ (théorème de Cauchy).
  • J'ai utilisé ce raisonnement pour construire un élèment dont l'ordre est l'exposant d'un groupe fini. Mais j'ai compris que ce que j'ai fait est faux. Merci beaucoup.
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