Intégrale elliptique de première espèce

Bonjour tout le monde,
si je note, pour $k$ réel dans $]0,1[$ :
$$ K(k)=\int_{0}^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2(t)}},
$$ alors on devrait pouvoir montrer l'identité suivante, en notant $k'$ le conjugué de $k$ (i.e. : $k^2+k'^2=1$) :
$$\frac{2}{1+k'} K \left ( \frac{1-k'}{1+k'} \right) = K(k) .
$$ Connaissez-vous une preuve qui n'utilise pas le développement en série de $K$ ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Un idée comme ça (je n'ai fait aucun calcul):
    On exprime $k^\prime$ en fonction de $k$ et on se retrouve avec une égalité fonctionnelle et on a envie de faire un calcul de dérivée.

    NB:
    $\displaystyle K(0)=\dfrac{\pi}{2}$
  • Ton identité s'appelle la transformation (quadratique) de Landen (downward). De Gauss à Ivory en passant par Carlson & Co., il existe des dizaines de façons de la prouver. A mon avis, la plus simple (conceptuellement parlant) est de montrer que l'expression de gauche vérifie l'équation différentielle $k(k^2-1) \dfrac{d^2y}{dk^2} + (3k^2-1) \dfrac{dy}{dk}+ ky = 0$ (dont $K$ et $K'$ sont solutions), puis qu'elle coïncide avec $K$ en un point -- donc éviter $k = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
  • Bonjour, je vous remercie pour vos réponses.
    En cherchant un peu, j'ai trouvé qu'en notant $D=k \frac{d}{dk}$, on a :
    $$D^2 \cdot K= k^2 (D+1)^2 K.
    $$ Je faisais tout cela pour calculer $K\left ( \frac 1 {\sqrt 2} \right)$ avec la moyenne arithmético-géométrique de $1$ et $\frac{1}{\sqrt 2}$, et la longueur du lemniscate.
  • Il me semble que ce que tu notes $D$ s'appelle l'opérateur de Riemann. C'est tout à fait normal que ce soit la bonne notion de dérivation à employer ici car $K$ est essentiellement la fonction hypergéométrique $\dfrac{\pi}{2} \phantom{}_2 F_1 \Big( \begin{array}{c} \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \\ 1 \end{array} \bigg| \bullet \Big)$ mais évaluée en $k^2$. Dans la mesure où $1-c = a-b$ redondant avec $= a+b-c$ pour $\phantom{}_2 F_1 $ alors apparaît la transformation quadratique de Landen.
  • Il ne faut surtout pas chercher à calculer $K \big( \frac{1}{\sqrt{2}} \big)$ qui, de mémoire, est proportionnel à $\Gamma \big( \frac{1}{4} \big)$ pour vérifier Landen. Car en cette valeur particulière de $k$, $K(k) = K'(k)$. Essayer en $k=0$ paraît beaucoup plus judicieux.
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