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Quiz

Bonjour,

Plusieurs chaînes Youtube proposent des petits problèmes mathématiques. Difficile d'y résister lorsqu'on est amateur ! Mais les algorithmes de Youtube sont ainsi conçus que si l'une de ces vidéos nous est proposée un jour par hasard et qu'on la visionne, d'autres du même genre nous sont proposées, etc. Il y a un effet "boule de neige", c'est infernal !
Certains de ces problèmes sont débiles, du genre "Que vaut $6 \div 2 \times 3$ " ? Mais d'autres sont intéressants. En voici quelques-uns qui pourraient vous amuser :

1) Un cercle se déplace en tournant sur un autre cercle de rayon triple sans glisser, et revient à son point de départ. Combien de tours sur lui-même aura-t-il effectués ?

Bien qu'averti par l'auteur de la vidéo que la plupart des gens se trompaient, je suis tombé dans le panneau en pensant que la réponse était 3 !

2) $x^{x^5} = 100$. Combient vaut x ?

Simple, mais astucieux ..

3) Quel est le plus petit entier tel qu'en déplaçant son dernier chiffre devant le premier, on le double ?

Facile si l'on pense au (petit) théorème de Fermat. Curieusement, l'auteur ne le mentionne pas et procède d'une manière détournée. Il écrit dans la description de la vidéo que la question aurait été posée au (très grand) mathématicien Freeman Dyson, et que celui-ci aurait immédiatement répondu que le nombre avait 18 chiffres ! Dyson avait certainement Fermat présent à l'esprit.

4) (voir la figure) Combien vaut l'angle $\alpha$ ?
Question subsidiaire : Quel est le périmètre du triangle $ABC$ ?

Après avoir cherché vainement quelques minutes par un calcul d'angles, j'ai écrit

$\tan \angle BAC = \frac{1 - \tan 20^ \circ}{1 - \tan 25^ \circ}$

et trouvé (disons ma calculette a trouvé !) avec surprise 50° pour l'angle $BAC$, et donc 65° pour $\alpha$.
Sans chercher à le justifier par des relations trigonométriques, je suis revenu à des considérations purement géométriques et me suis promis de ne pas regarder la réponse. Après tout, ce problème était proposé au grand public de Youtube ! J'ai donc laissé la figure sur mon bureau, en y repensant à mes moments perdus. C'est seulement après plusieurs jours que la lumière a jailli ce matin !
Pour les gens aussi peu doués que moi, il y a tout de même une consolation : comme vous l'avez sans doute aussi constaté, la satisfaction de résoudre un problème par ses propres moyens, aussi simple soit-il, est proportionnelle au temps consacré à le résoudre !127622
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Réponses

  • Bonjour,

    A première vue, voilà ma première idée:
    Avec les angles visibles, on utilise seulement le fait qu'on a un rectangle, ce n'est pas suffisant, $\alpha$ peut varier. Il faut donc l'hypothèse supplémentaire qu'on a un carré et s'en servir, soit par une deuxième longueur égale à $1$, soit par une diagonale et un angle de $45°$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • En effet, il n'est pas dit que la figure soit un carré. Comme hélas trop souvent, nous avons un énoncé incomplet.
    L'égalité $\tan \angle BAC = \frac{1 - \tan 20^ \circ}{1 - \tan 25^ \circ}$ trouvée par GG indique que c'est bien un carré.
    Ce qui fait tout marcher c'est que $\angle AEF +\angle DEB=45°$. Le symétrique de $F$ par rapport à $EA$ est confondu avec le symétrique de $D$ par rapport à $EB$, et ce point $K$ est donc le projeté orthogonal de $E$ sur $AB$. Etc.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.127626
  • Bonjour,

    Une figure un peu plus jolie.

    Cordialement,

    Rescassol127630
  • Elle ne te plaît pas, ma figure ?(:D
  • @Rescassol, oui, pardon, c'était bien un carré, j'ai oublié un 1 sur ma figure !
    @Chaurien, ah oui, c'est évident, ça m'a complètement échappé !
  • Pour le 2), $x^{x^5}=100$, donc $x^5 \log x=\log 100=2 \log 10$
    On pose $x^5=y$, alors $y \log(y^{1/5})=2 \log 10$, donc $y\log( y)=10 \log 10$.
    Donc $y=10$, convient, donc $x=10^{1/5}$, aussi.

    Pour le 1), je dirais quatre tours.
  • En effet, ces problèmes sont sympathiques. Quiz pourrait-il nous indiquer plus précisément où l'on peut les trouver ?
  • Remarquons que pour le problème du carré, la solution de Quiz permet aussi de conclure :
    $\tan \angle BAC = \frac{1 - \tan 20^ \circ}{1 - \tan 25^ \circ}= \frac{1 - \tan (45^ \circ- 25^ \circ)}{1 - \tan 25^ \circ}= \frac{1 - \frac {1-\tan 25^ \circ}{1+\tan 25^ \circ}}{1 - \tan 25^ \circ}=\frac {2 \tan 25^ \circ}{1-\tan^2 25^\circ}=\tan 50^ \circ$.
    D'où : $ \angle BAC = 50^ \circ$, et les autres angles inconnus s'en déduisent.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
    Edit. Il faut lire : « la solution de GG ».cf. infra
  • @Chaurien, quiz, c'est le titre que j'ai donné au fil, et non moi, GG ! "quiz" est un mot anglais qui n'a pas vraiment d'équivalent français et qui signifie devinette, jeu radiophonique, etc.

    Par exemple : quiz ou encore.

    @Marco, pour le 2), oui. (L'auteur écrit simplement $(x^{x^5})^5 = 100^5$, $(x^5)^{(x^5)} = 10^{10}$, $x = \sqrt [5]{10}$ (avec un argument de croissance pour l'unicité)).
    1) oui !
  • Oups, pardon GG. J'ai l'impression qu'un « quiz » est une liste de questions rapides dans le cadre d'un thème donné.
    Ici, ce sont plutôt des petits problèmes bruts, souvent intéressants, comme ceux que tu as présentés. Comme tu dis : difficile d'y résister lorsqu'on est amateur ! Nous avons parlé de cette problémomanie dans un fil récent, et c'est bien le cœur des mathématiques.
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,2314568,2316164#msg-2316164
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Pour le 3, sauf erreur parce que flémme de tester sur la calculatrice du portable, je pense à 52631578947368421.
  • Tu n’as pas inversé, Riemann_lapins_crétins ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Je trouve que c'est 105263157894736842

    2*105263157894736842 = 210526315789473684
  • En effet j'ai inversé. Modulo la correction je suis content de moi.

    En fait le problème, en tous cas avec ma méthode, c'est qu'il fallait vraiment tester à la calculatrice quelle valeur du dernier chiffre marchait. Je suis parti du principe que 1 fonctionnait sans trop savoir pourquoi.

    Sinon ça marche si on s'autorise à dire que le premier chiffre peut être nul.
  • Notons $A=a_1a_2\dots a_n$ le nombre cherché, avec $a_1$ différent de zéro.

    Posons$ x=0,a_1a_2\dots a_na_1a_2\dots a_na_1a_2\dots a_na_1a_2\dots a_n\dots$

    On doit avoir $\dfrac{a_n+x}{10}=2x$. Donc $x=a_n/19$.

    Si $a_n=1$, on trouve $a_1=0$, qui ne va pas.

    $a_n=2$ convient et $x=2/19$, on retrouve la solution de JLT.
  • Pour ce problème, si l'on ne veut pas utiliser les théorèmes de l'arithmétique, on peut faire le calcul à la main, sans calculatrice, de proche en proche, à partir du chiffre des unités, décidé arbitrairement. Voici comment on peut faire, en notant les retenues en haut pour le multiplicande et en bas pour le résultat.
    Je suis parti du chiffre $1$ pour les unités, comme RLC, mais il faut tester tous les chiffres de $1$ à $9$ pour voir quel est le plus petit. Il n'est pas nécessaire de refaire tout le calcul, on peut procéder par décalage.
    Le nombre trouvé est la période de $\frac 1{19}$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.

    [Contenu du fichier pdf joint. AD]127728
  • En effet Chaurien, n'ayant pas d'outil numérique sur moi j'ai posé la division par 19 en partant de 1 comme dernier chiffre du nombre cherché, et me suis dit que ça passerait sûrement (je sais pas pourquoi, parce que dans ce genre de problème "le plus simple passe souvent").
    Mais j'ai eu la flémme de faire le produit par deux après ça. Enfin si, j'ai vaguement vérifié pour les cinq derniers chiffres et j'en ai "déduit" que c'était bon.

    Mais quelle est donc la preuve du Youtuber qui n'utilise pas Fermat ?
  • La question $1$ est un vrai piège…
    Par habitude, on regarde le déplacement d’un point sur le petit cercle (d’où la mauvaise réponse 3), alors que ce n’est pas ce qui est demandé ici.

    Voir la page deltoïde : https://fr.wikipedia.org/wiki/Deltoïde_(courbe).
  • Je ne vois pas de preuve utilisant Fermat. Quelqu'un peut expliciter ?
  • Bonsoir à tous

    Question 1 :

    "Un cercle se déplace en tournant sur un autre cercle..."

    Ne faudrait-il pas préciser si le petit cercle tourne à l'intérieur ou à l'extérieur du grand cercle ?

    La réponse ne serait peut-être pas la même.

    Aldo
  • @JLT : Si $x$ est un tel nombre, $a_0$ son chiffre des unités et $n$ son nombre de chiffres, on a $19x=a_0(10^n-1)$ donc $n$ est l'ordre de $10$ modulo $19$ (qui divise $18$ d'après Fermat et, en fait, c'est $18$).
  • Oui c'est ce que j'avais en tête. L'ordre divise 18 mais Fermat ne permet pas de déterminer l'ordre. Donc on ne peut pas répondre à la question en 2 secondes.
  • C'est en effet mon raisonnement. Même s'il faut faire des calculs de vérification pour essayer les autres multiples.

    Probablement que Dyson a raisonné ainsi et pensé que 18 devait être une valeur bien probable. Ou encore peut-être qu'il a dit que le nombre avait au moins 18 chiffres et que le YouTuber l'a mal rapporté.

    Dans le même genre de questions qui ne nécessitent pas de connaissances et que tout le monde sait résoudre ici mais qui impressionneront les filles en soirée, il y a celui-ci que j'aime bien : parmi tous les nombres dont les seuls chiffres sont des 7, il y en a un divisible par 2021.
  • RLC, et même parmi les nombres dont les seuls chiffres sont des $1$ (répunités).
    Tiroirs + Gauss.
    Mais je ne suis pas certain que ça assure des succès féminins. Enfin, il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre ;-) ...
  • Ou pour tout $n\in\N$, il existe un multiple de $n$ dont l'écriture en base $10$ ne comporte que des $0$ ou $1$ ;-)
  • Plus précisément, une suite de $1$ suivie d'une suite de $0$
  • Mais là, Chaurien, tu forces la solution astucieuse...
  • @JLT : Je suis sûr que tu pourrais nous dégoter tous les premiers $p$ tels que l'ordre de $10$ modulo $p$ est $p-1$ ;-)
  • Oui, il suffit d'un nombre premier avec 10. Mais on a tous connu plein de problèmes avec des valeurs numériques pour brouiller les pistes. Le paradoxe qui fait que le cadre concret est souvent plus dur que le cadre abstrait pour trouver la bonne direction.

    Pour de vrai ce genre de jeux mathématiques peut plaire dans certaines soirées. La preuve de la boule chevelue avec une orange a toujours un petit succès.
    Il y a aussi eu une fois un type qui, alors qu'on jouait à parier sur la somme de deux dés pour boire des gorgées de bière, était agacé que je choisisse toujours 7. Je lui ai expliqué pourquoi. Il a répondu que "ce serait plus drôle si on avait deux dés qui nous donneraient tous les nombres avec les mêmes chances".
    Je vous raconte pas la joie qu'on a à expliquer que c'est impossible. Même s'il n'a rien compris à l'argument ça fait briller en société.
    Dans le même genre d'idées il y a aussi les questions pièges que j'aime bien. Alors que j'étais en train de faire un exercice du W. Appel dont l'énoncé était de calculer en combien de sauts en moyenne une grenouille parcourrait une distance d'un mètre en supposant la longueur de ses sauts uniformément distribuées sur [0,1], mon père est passé et m'a demandé ce que j'étais en train de faire. Vu que l'énoncé était compréhensible pour un profane je lui ai raconté. Et évidemment sa réponse fut "Ben c'est deux !".
    Même si un non matheux ne peut pas calculer cette moyenne, j'aime bien la poser depuis et demander pourquoi ça ne peut pas être deux.

    En tous cas s'il y a d'autres problèmes que les membres connaissent accessibles à tous mais qui demandent de réfléchir je suis preneur.

    (Merci à Chaurien pour la correction)
  • Avec un dé numéroté 100,200,300,400,500,600 et un dé classique, ça devrait faire le bonheur de ton ami.
  • Pour revenir sur l'histoire de 19, le point clé est que 10 est un générateur des inversibles de $\Z/19\Z$. Est-ce que c'est souvent le cas, pour $p$ premier, que $10$ en soit un générateur ? C'est l'objet d'un conjecture d'Artin.
  • Bonsoir.

    Si on regarde un autre type de dé, un dodécaèdre devrait pouvoir donner toutes les valeurs entre un et douze, si bien équilibré bien sûr.

    C'est le genre de dé qu'on retrouve typiquement à une table de jeu de rôle, tout comme les autres solides de Platon.

    À bientôt.

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  • Mais on parle bien évidemment d'un dé à six faces numérotées de 1 à 6 traditionnel.
  • Pour 2 dés à 6 faces, qui seraient pipés, pour faire en sorte que les 11 résultats 2,3...12 soient équiprobables, certes, c'est impossible.
    Mais tant qu'on ne s'est pas lancé dans des calculs assez longs, ça n'a rien d'évident.

    Alors que la grenouille qui fait des sauts de longueur x=random(1) ... l'argument pour prouver que le nombre moyen de sauts est strictement supérieur à 2 est immédiat, et sans aucun calcul.
  • $~~~~$ L'enthousiasme de RLC fait plaisir à lire. Martin Gardner a traité la question du plaisir de comprendre soudainement, comme le eurêka ! d'Archimède, dans un joli livre : "Haha" ou l’éclair de la compréhension mathématique, Belin 1979. Je n'ai pas l’expérience de ce phénomène dans des soirées, je suis agréablement surpris que les mathématiques se prêtent à des mondanités, c'est sans doute avec des personnes choisies. J'ai plutôt le souvenir d'avoir cherché à partager avec une amie la beauté du théorème des deux carrés de Fermat, mais c'était en pure perte.

    $~~~~$ J'ai bien aimé le problème des sauts de la grenouille, extrait de Walter Appel, Probabilités pour les non-probabilistes, H&K Editions, 2013, 2015. C'est un ouvrage d'une grande richesse, au titre trop modeste, et j'ai une forte envie de l'acheter. L'exercice en question est le 12. 11, p. 279 (Le paradoxe des grenouilles). Je ne vois pas d'argument évident qui dise que l'espérance ne peut être $2$. Je l'ai traité classiquement, peut-être lourdement, et je trouve $e$. C'est bon ?

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • 1 saut ne suffit jamais, 2 sauts ne suffisent pas toujours donc le nombre moyen de sauts est strictement supérieur à 2.
  • Je m'offusque pour le 1) ! Je pense comme tous les obscurantistes que la réponse est 3, et ceux qui disent 4 aiment bien jouer des tours juste pour le plaisir de contredire!
  • Si une roue de rayon R roule sur un segment droit de longueur 6 pi R , alors la roue fait 3 tours sur elle même.
    Mais si elle roule sur un cercle de rayon 3R, elle en fait 4.
    Visualise le point de la petite roue qui est au contact de la grande roue au point de départ, quand la petite roue est en haut du dessin.
    Il est à nouveau au contact à 2 autres moments, on sait parfaitement placer ces 2 autres points.
    Et il est en bas de la petite roue ... 4 fois.
  • lourrran a écrit:
    Pour 2 dés à 6 faces, qui seraient pipés, pour faire en sorte que les 11 résultats 2,3...12 soient équiprobables, certes, c'est impossible.
    Mais tant qu'on ne s'est pas lancé dans des calculs assez longs, ça n'a rien d'évident.

    Il y a une démonstration courte qui utilise l'irréductibilité du polynôme cyclotomique $1+X+\cdots+X^{10}$.
  • @lourran: J'entends, mais tout est une question de point de vue. Quand on pose la même question sur Terre, on ne tient pas compte de la courbure de la Terre et l'on demande au lecteur de s'imaginer le sol comme étant plat. Ici on change de point de vue. SI mon repère c'est le cycliste, alors la roue a tourné 3 fois, si mon repère c'est la Terre, alors la roue a tourné 4 fois. Il est difficile de retenir comme faute un choix différent d'un énoncé qui n'est pas explicite.
  • Oui, on peut entendre ce point de vue, cette pirouette... une pirouette dans un exercice où on compte les tours sur soi-même, c'est dans le thème.
  • L'argument pour le problèmes des dés est de considérer le polynôme générateur des probabilités de donner chaque nombre par les deux dés et de voir que leur produit est effectivement le polynôme cyclotomique de JLT.

    Il y a assez souvent une occasion de proposer ces petits jeux. Vous voyez ces personnes qui demandent par moments "Vas-y, apprends-moi un truc en maths !" ? J'essaie de leur donner des petites énigmes du genre.
    Ou quand j'ai la flémme je me contente de dire "Tu savais que Napoléon avait fait un théorème ?".

    J'ai même réussi à parler des irrationnels à mon beau-père. Même si j'ai honte de m'être appuyé sur la légende urbaine du suicide des pythagoriciens. Il faut bien appâter.
  • Il faut voir qu'un certain calcul donne ce polynôme, et il faut savoir que ce polynôme est irréductible et il faut voir comment tout ça permet de conclure !
    Moi, avec mes connaissances théoriques trop réduites, je me contente de tenter de résoudre le système à 13 équations et 12 inconnues ...
  • Sinon on peut raisonner comme ceci : on suppose qu'il existe $a_i$ et $b_i$ positifs ou nuls tels que $a_0b_0=a_5b_5=a_0b_5+a_1b_4+\cdots+a_5b_0=\frac{1}{11}$.

    Supposons par exemple $0<a_0\leqslant a_5$. Alors $a_0b_5+a_1b_4+\cdots+a_5b_0\geqslant a_0b_5+a_5b_0>a_5b_0\geqslant a_0b_0$, contradiction.
  • Voici ma solution du problème de la grenouille.Une grenouille fait des sauts, toujours vers l'avant, de longueur, en mètres, uniformément répartie sur $[0,1]$.
    Calculer l'espérance du nombre $Y$ de sauts nécessaires pour que la grenouille atteigne ou dépasse $1$ mètre.Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $p_{n}=P(Y>n)$. Alors, $p_{0}=1$ et $p_{1}=1$.
    Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, soit $X_{n}$ la longueur du $n$-ème saut de la grenouille.
    On a l'égalité des événements : $[X_{1}+X_{2}+...+X_{n}<1]=[Y>n]$, d'où :
    $\displaystyle p_{n}=P(Y>n)=P(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}<1)=\int \int...\int_{D_{n}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$, avec : $D_{n}=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb R^n~|~x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0,...,x_{n}\geq
    0,x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq 1\}$.
    Le réel $p_n$ est le $n$-volume du $n$-simplexe $D_{n}$.
    En conséquence : $\displaystyle p_{n}=\int_{0}^{1}p_{n-1}z^{n-1}dz=\frac{1}{n}p_{n-1}$, qui implique : $p_{n}=\frac{1}{n!}$.
    Expression de l’espérance au moyen de l'antirépartition :
    $\displaystyle E(Y)= \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}P(Y>n)=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{n!}=e$.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • Bonne nuit, bonne nuit,
    mais enfin Chaurien, il est cinq heures, Paris s'éveille ! ;-)
  • Il est très joli cet exercice de grenouille !
  • Si tout ceci est correct, on peut préciser la variance : $V(Y)=e(3-e)$, soit à peu près $0,76579$.
  • Finalement il n'y a aucune astuce dans cet exercice de la grenouille qui apprend surtout à manipuler des sommes de variables aléatoires à densité. Le W. Appel contient pas mal de problèmes rigolos du genre. Mais voilà encore de quoi briller dans les cocktails mondains.
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