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Espace $\ell^{2,1}$

Bonjour à tous
Je galère à comprendre ce que signifie $x(k)$ dans l'énoncé ci-dessus. J'aurais tendance à dire que c'est la $k$-ème composante $x$, mais $x$ appartient à $R^N$ et la somme va jusqu'à l'infini...

Si quelqu'un veut bien éclairer ma lanterne...(:P)
Merci d'avance et bonne journée !127608

Réponses

  • Hello !
    x est une suite réelle (ou fonction de N dans R)
    $x_k = x(k)$
  • Ah oui je ne sais juste pas lire en fait...
    Merci beaucoup !


    Mais du coup, quelle est la distance associée à cette norme pour deux termes x_n et x_p d'une même suite ?
  • Heu ... la norme porte sur la suite tout entière. On peut s'intéresser à la distance de deux suites, pas de deux nombres.

    Cordialement.
  • Mais si on pose (x_n) une suite de Cauchy dans l1, comment on fait pour la caractériser par rapport à la norme ?
  • Ben ... tu as une suite d'éléments de $\ell^{2,1}$, avec la norme associée, tu sais définir une distance, et tu appliques la définition de "suite de Cauchy".
    Les éléments de $\ell^{2,1}$ sont des suites ayant une certaine propriété, il serait bon déjà de montrer qu'elles forment un espace vectoriel, c'est la base pour avoir un Banach.
    Si x et y sont deux suites, il est traditionnel d'écrire leurs éléments $x_n$ et $y_n$. Mais si tu veux écrire une suite de suites, il va falloir indicer ces suites. Tu peux noter $(x^{(n)})_n$ ta suite, et $x^{(n)}_k$ le k-ième élément de la suite $x^{(n)}$. Une autre méthode est celle de ton document où $x$ est la suite $(x(n))_n$ ce qui permet de définir par un indice traditionnel une suite de suites : $(x_n)_n$, le k-ième élément de la suite $x_n$ étant noté $x_n(k)$.
    A toi de choisir, mais il te faut décoder correctement cet énoncé, et démontrer que $\ell^{2,1}$ est un espace vectoriel est un moyen de t'habituer à ta notation.

    Bon travail !
  • Merci beaucoup pour votre réponse. C'est vrai que j'ai du mal à me représenter ce qu'est cet indice $k$, et je rencontre les mêmes problèmes dans les espaces $L^p(N)$.

    Du coup coup si $k$ fait référence au k-ième terme de la suite $(x_n)_n \in N$, quelle est la différence entre $x_n$ et $x_n(n)$? ( Par définition, $x_n$ est le n-ième terme de la suite non? dans ce cas, pourquoi mettre un $k$ en plus?)
  • Oh je pense que j'ai compris!

    On peut par exemple définir une suite de fonction $(f_n)_{n \in N}$ de $R$ dans $R$
    Par exemple, $f_n(x) = n*x$. Dans ce cas , $(x_n)_{n \in N}$ peut être la restriction de $f$ à l'ensemble des entiers naturels, et on aurait:
    $x_n(k) = k*n$.
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