Formule de la somme des $k^n$

Bonjour à tous !
Récemment, j'ai eu une idée de formule.

En classe préparatoire il y a quelques années de là, on m'avait appris à obtenir la formule de la somme des kn en calculant d'abord toutes les autres formules des sommes de kp pour p entre 1 et n-1, ceci avec la technique de somme télescopique.
Mais je me suis rendu compte que je pouvais trouver cette formule sans passer par les précédentes. Voici mon raisonnement.

Soient n et m, deux entiers naturels non nuls (m a le droit d'être nul, c'est la raison pour laquelle on commence la somme à 0 dans ce qui suit). Posons :
fn(m) = somme pour k allant de 0 à m des kn

PROPOSITION. Pour chaque n entier naturel non nul, fn est un polynôme de degré n+1 évalué en les entiers naturels.

DÉMONSTRATION. Par récurrence sur n.
Soit m entier naturel.
  • n = 1, on connaît la formule : f1(m) = m(m+1)/2
    La version continue est : P1 = X(X+1)/2 qui est un polynôme de degré 2 = 1(n)+1.
  • n plus grand que 1 quelconque
    On suppose que fp est un polynôme de degré p+1 évalué en les entiers pour chaque p entre 1 et n.

    (k+1)n+2 - kn+2 = somme pour l allant de 0 à n+1 des l parmi n+2 multiplié par kl

    De cette somme, on ne retient que le terme en kn+1
    vous connaissez probablement la suite : on somme. À gauche, somme télescopique (de 0 à m), on obtient un monôme de degré n+2, à droite une flopée de sommes qui par l'hypothèse de récurrence (forte) sont des polynômes dont le degré n'excède pas n+1, et enfin, (n+2) * fn+1(m). On réarrange tous ça, ce qui fournit la différence d'un monôme de degré n+2 avec un polynôme de degré au plus n+1 divisé par n+2 (l'entier) : un polynôme de degré n+2.
    Ce qui prouve la proposition.
Une fois ce résultat obtenu, on se souvient de la puissance des polynômes d'interpolations de Lagrange : si on fournit degré du polynôme + 1 couples antécédents (tous différents l'un de l'autre) - images de notre somme, on définit un polynôme d'interpolation de Lagrange de degré au plus celui de notre polynôme (en réalité exactement égal), unique dans l'espace des polynômes du même degré (idéal engendré pour les plus gros degrés) : autrement dit, on a une formule !

Il nous suffit de prélever les n+2 premières valeurs de fn pour obtenir la formule de la somme pour k allant de 0 à m des kn !

Seul problème : bien que moins lourd en calcul que la façon télescopique de voir les choses, les calculs sont encore très denses ! Mais le hic, c'est que le résultat est une fraction simple ! J'imagine que les sommes alternées des fractions puissances sur factorielles forment une identité que je ne connais pas... (fournies par la valeur des coefficients du polynôme de Lagrange associé)

QUESTIONS.
- Y a-t-il en réalité une formule connue des mathématiciens pour calculer cette somme ? Auquel cas je serais en train de réinventer la roue ?
- Y a-t-il moyen de simplifier ces interminables sommes alternées des fractions puissances / factorielles ?
Je vous remercie par avance :-)

Réponses

  • Jette un coup d'oeil aux polynômes de Bernoulli.
  • Bonjour Manda,

    Effectivement, c'était bien ce que je recherchais ! La formule de Faulbaher.
    Plus qu'à faire des algorithmes (non récursifs si possible... ) pour calculer ces nombres de Bernoulli :-D

    Merci encore pour cet aiguillage :)o
    Bonne journée :-)
  • Johann Faulhaber (1580-1635) , l'arithméticien le plus ingénieux d'Ulm, a le droit au respect de son patronyme.

    e.v.
  • ev a écrit:
    Johann Faulhaber (1580-1635) , l'arithméticien le plus ingénieux d'Ulm, a le droit au respect de son patronyme.

    Merci de la correction, cependant je ne faisais que répéter ce qu'il y avait sur ce cours que j'ai trouvé (pj)

    (meilleure signature de tous les temps d'ailleurs)127462
  • Bonsoir

    cette formule de Faulbaher est trop lourde, il vaut mieux passer par le fonction de Bernoulli
    avec x variable réelle positive et n entier naturel :

    $B_n(x) = 1 + 2^x + 3^x +...........+ n^x$

    elle fournit les coefficients de son propre développement factoriel en x soit :

    $B_{n+1}(x) = 1 + B_n(0) + xB_n(1) + \frac{x(x-1)}{2!}B_n(2) + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}B_n(3) + ................+ \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)......(x-k+1)}{k!}B_n(k) +....$

    si x = p entier naturel alors nous obtenons une relation de récurrence entre les sommes paramétrées (le développement est purement algébrique) :

    $B_{n+1}(p) = n +1 + pB_n(1) + \dbinom{p}{2}B_n(2) + \dbinom{p}{3}B_n(3) + ..........+ \dbinom{p}{p-1}B_n(p-1) + \dbinom{p}{p}B_n(p)$

    je signale que les images des entiers par la fonction de Bernoulli peuvent être obtenues par une fonction génératrice :

    $\frac{e^t(e^{nt} - 1)}{e^t - 1} = 1 + \frac{t}{1!}B_n(1) + \frac{t^2}{2!}B_n(2) +............+ \frac{t^p}{p!}B_n(p) +..........$

    il s'agit bien d'un développement analytique et $B_n(p)$ apparaît comme le nombre-dérivé d'ordre p de cette fonction pour t = 0

    Cordialement
  • Bonjour jean,

    merci pour ce retour !
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