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Norme sous-multiplicative

Bonjour

Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables et de carrés intégrables.

Sous quelles conditions (sur $f$ et $g$) on a : $\|fg\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2$ ?

Réponses

  • On a des raisons de penser que le produit a un carré intégrable ? Que le produit soit intégrable, c'est Cauchy-Schwarz, mais son carré... Pense à $1/\sqrt x$ sur $]0,1[$.

    (Après, c'est sans doute justement le sens de ta question...)
  • Je pense plutôt à des conditions sur l'espace (genre mesure totale de cet espace), plutôt que des conditions sur les fonctions elle-mêmes. Sur quel espace te places-tu ?
  • Espace de hilbert $L^2([0,1],\mathcal{A},\mathbb{P})$
  • Dans ce cas, tu peux appliquer Cauchy-Schwartz et comparer les normes $L^1 $ et $L^2 $ (pour cela, tu peux appliquer C-S avec une des deux fonctions constatnte).
  • L'inégalité n'est pas dans le sens qu'on voudrait, ou je me fourre le doigt dans l'œil une deuxième fois ?
  • Je sais que si $f\in L^2$ et $g\in L^2$ alors $fg\in L^1$ et que $\|fg\|_1\leq\|f\|_2\|g\|_2$, et je sais aussi que si $f\in L^4$ et $g\in L^4$ alors $fg\in L^2$ $\|fg\|_2\leq\|f\|_4\|g\|_4$. Je ne cherche pas ça !
    Ma question est
    "Sous quelles conditions (sur $f$ ou $g$ ou bien l'espace) on a $\ \|fg\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2\ ?$"
  • Si tu travailles sur $[0,1]$, que tes fonctions $f$ et $g$ sont à valeurs réelles et que $f^2$ et $g^2$ sont respectivement croissante et décroissante, alors ton inégalité est vraie.

    Dans le cas général, ton problème manque un peu d'homogénéité pour avoir une belle solution.
  • Oui, c'est vrai, j'ai quelque peu confondu.
  • La situation devient plus souple si tu autorises une constante :$ \| f g \|_p \le c \|f\|_p \|g\|_p$; en effet il existe des espaces fonctionnels de Banach non triviaux (i.e de dimension infinie) pour lesquels les normes p ($p<\infty$ sinon c’est pas possible par le lemme de Grothendieck) sont toutes équivalentes, c’est ce qu’on appelle,en gros l’hyper-contractivité. Une simple inégalité d’Holder puis l’équivalence des normes donne ce genre d’inégalités mais avec des constantes (dans ton cas tu veux 1 comme constante pour $p=2$)
  • Pas grand chose a dire sur ce probleme de caracterisation des paires $f,g$ positives telles que
    $$\int_0^1f^pg^pdx\leq \int_0^1f^pdx\int_0^1g^pdx.$$ D'abord, pas la peine de s'embarrasser d'un $p$, meme $p=2$, puisque on se ramene trivialement au cas $p=1.$ Ensuite, si $X=f(x)$ et $Y=g(x)$ sont considerees comme des variables aleatoires de covariance $\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)
    \mathbb{E}(Y)$, le probleme reel est le suivant: quelles sont les lois possibles pour un couple $(X,Y)$ de va reelles positives d'avoir une covariance negative? Ce probleme n'a pas de solution generale simple (J.Lapin mentionne ci dessus l'observation de Tchebychev).
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