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Racine d'un opérateur positif

Bonjour
Je sèche sur un exercice d'opérateurs dans un espace de Hilbert.

Donc on a bien existence et unicité de la racine d'un opérateur positif. Cette racine commute avec tout le commutant de l'opérateur.

On prend $A$ et $B$ deux opérateurs positifs qui commutent et je dois montrer que $\ A \leq B \iff \sqrt{A} \leq \sqrt{B}$.

Le sens réciproque se montre facilement en utilisant qu'un produit de deux opérateurs positifs reste positif.
Par contre pour le sens direct je sèche complètement.
J'ai essayé de reprendre ma démonstration de cours (on a utilisé le DL de $\sqrt{1-t}$) mais ça n'aboutit pas.
Si quelqu'un a une idée je suis preneur, merci.

Réponses

  • Le noyau de $A$ doit être inclus dans celui de $B$. Tu peux alors supposer $B$ inversible et te ramener au cas $B = Id$. Après, il suffit de regarder les valeurs propres.
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