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Espaces métriques

Salut ! Je suis bloqué à la résolution d'un tel exercice.

Si deux boules fermées $\overline{B}(a, r)$ et $\overline{B}(a^\prime, r^\prime)$ d'un e.v.n $E\neq\lbrace{0}\rbrace$ sont égales, montrer que $a=a^\prime$ et $r=r^\prime$.

Réponses

  • Tout d'abord j'essaie de faire un raisonnement par absurdité:

    1- Supposons que $a=a^\prime$ et $r'>r$.
    Par définition de la boule dans un e.v.n $E$, on a $\|x-a\|\le r$ $(1)$ et $\|x-a^\prime\|\le r^\prime$ $(2)$. De $(1)+(2)$ on a : $2\|x-a\|\le r+r^\prime$. Alors $x=a^\prime+(\frac{r+r^\prime}{2})u$ avec $u$ un vecteur unitaire. est élément de $\overline{B}(a^\prime, r^\prime)$ mais pas à $\overline{B}(a, r)$ ce qui est absurde.
  • 2- Supposons que $a\neq a^\prime$ et $r\le r^\prime$ on a : $\|x-a\|\le r$ $(1)$ et $\|x-a^\prime\|\le r^\prime$ $(2)$.
    De $(1)+(2)$ on a : $\|x-a\|+\|x-a^\prime\|\le \|x-a^\prime\|+\|a^\prime-a\|+\|x-a^\prime\|\le 2\|x-a^\prime\|+\|a^\prime-a\|\le r+ r^\prime$.
    Je ne sais plus comment faire pour montrer que $x$ appartient à $\overline{B}(a^\prime, r^\prime)$ et non à $\overline{B}(a, r)$ et dire que c'est encore absurde pour conclure le cas de $a=a^\prime$ et $r=r^\prime$.

    Merci à l'avance pour votre aide !

    Vraiment désolée pour le découpage du message (l'envoie n'était pas possible et j'ai dit faire un copier-coller pour voir où se trouvait l'erreur)
  • Dans le cas général et sans autre hypothèse sur $r$ et $r'$, tu ne peux arriver à une contradiction car les deux boules peuvent avoir un point en commun.
    Par contre sur la droite affine $a + \lambda (a-a')$ en choisissant bien $\lambda$ tu dois pouvoir trouver $x$ dans la boule fermée de centre $a'$ mais pas dans celle de centre $a$.

    _________________|_________________|_____________________|__________

    $a$
    $a'$
    $x$
  • Amadou je n'ai pas trop compris ton 2) mais tu peux conclure avec ton 1).

    Il suffit de montrer que si $y\in \overline{B}(a, r)$ est différent de $a$ alors $\overline{B}(y, r)$ contient un élément qui n'est pas dans $\overline{B}(a, r)$ (considérer par exemple l'élément $x=\dfrac{y-a}{\|y-a\|}r+y$).

    Ceci permet d'en déduire que $a'=a$ puis on peut conclure avec ton 1).
  • On est bien d'accord que c'est vrai dans un evn mais pas vrai dans un espace métrique...
    Le titre du fil est plutôt malencontreux.
  • @Bisam : En effet, dans un espace métrique on peut avoir une boule de rayon $r>0$ qui est incluse dans une boule de rayon $r’$ avec $0<r’<r$.
  • Je veux bien un exemple !
  • $\Z$ muni de la distance discrète, $B(2,12)=B(7,14)=\Z$
  • Je n'avais jamais pensé que la topologie discrète découlait d'une métrique. Merci beaucoup !
  • On peut aussi considérer $B(0,3)$ et $B(2,2)$ dans l’espace métrique $[0,+\infty[$ avec la métrique usuelle.
  • On peut avoir une inclusion stricte (plus contre intuitif...) : $[0,2]$ munis de la distance induite par la valeur absolue. Alors $B(0,1.5)\subset B(1,1)$.
  • La distance ultra métrique donne aussi de belles bizarreries sur les Boules ... (J.Dieudonné-Eléments d'analyse TI - Chapitre III (Espaces métriques) sect 8 Exercice 4127416
  • Je ne connais pas d'espace ultramétrique à part celui des nombres p-adiques, je suis curieux de savoir quels sont les espaces ultramétriques les plus courants.
    C'était un vrai plaisir de travailler dessus. Les boules dont tous les points sont un centre, les séries convergentes ssi leur terme général tend vers 0, les suites convergentes ssi la différence entre deux termes successifs tend vers 0...
    Un bon moment de détente avant le dur retour à $\mathbb{R}^{n}$...
  • On peut aussi considérer une distance ultramétrique sur l’espace des séries formelles $KX$ en considérant
    $$v\Big(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n\Big) = \inf \,\{n\in\N\mid a_n\neq 0\}.
    $$ On peut alors définir une distance ultramétrique sur $KX$ par
    \[d(S,T)= 2^{-v(S-T)}.\]
  • @Blueberry
    Salut ! Vu la droite affine je pense avoir saisi le raisonnement. Cela ne m'était même pas venu à l'idée. J'ai bien compris maintenant. Merci beaucoup pour ton éclairage avec simplicité.
  • @raoul.S
    Pour le 2 le but est de montrer que $x$ appartient à $\overline{B}(a^\prime, r^\prime)$ et non à $\overline{B}(a, r)$ et dire que c'est encore absurde car dans 1 j'ai déjà montré que $x$ appartient à $\overline{B}(a^\prime, r^\prime)$ pour déduire le dernier cas demandé par l'exercice.
    J'ai juste utilisé la définition de la boule fermée et en passant par l'inégalité triangulaire de la distance.
    La conclusion avec le 1 n'était pas possible pour moi car j'ai supposé $r'>r$ sans qu'il y ait la moindre égalité.
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