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Produit vide

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Réponses

  • C’est le curseur dont je parlais, Foys.
    Chacun sait que tu caricatures. Enfin, je me dis que chacun le sait…
  • J'ai dit ce que j'avais à dire, tout le baratin ultérieur ne change pas le fait brut !

    Mais ne nous étonnons plus que les mathématiques soient en déshérence en France ...
  • Certains entretiennent un rapport avec l'histoire des mathématiques qui est très étrange pour ne pas dire plus.
    Et d'autres qui entretiennent avec la compréhension de ce qu'ils lisent des rapports très distants, pour ne pas dire plus !
  • gerard0 a écrit:
    Mais ne nous étonnons plus que les mathématiques soient en déshérence en France ...
    Elles sont en déshérence parce ça fait au moins 20 ans qu'on interdit toute communication explicite des concepts avec des définitions précises, de même que toute démonstration, sous prétexte de lutter contre le "bourbakisme".
  • Bourbaki, c'est bien mais c'est pas bien. Ils essaient de tout construire, et ça c'est bien, mais ils le font d'une façon vraiment lourde et pompeuse (je trouve), et ça c'est moins bien.

    Je veux qu'on ait des définitions précises, mais du coup, il faut bien se demander : on prend laquelle ? Evidemment qu'il y a parfois plusieurs définitions qui se valent, il suffit qu'à la fin les résultats soient les mêmes, donc c'est un choix personnel de chaque enseignant (bon, dans un monde idéal, en tout cas : dans la réalité du pré-bac c'est le programme qui décide de "la bonne définition"). Pour moi, la meilleure définition est celle qui laisse le moins de doute à l'apprenant. Moins il y a de points obscurs, mieux c'est.

    Je pense aussi que "changer de définition" n'est pas vraiment une bonne chose. On parlait l'autre fois de la définition de la fonction exponentielle, il y a en trois principales (réciproque du logarithme, $y'=y$, série entière). Certains argumentaient qu'ils préféraient prendre la définition "série entière" parce qu'elle permet de définir l'exponentielle de plein d'objets d'un coup (réels, complexes, matrices...). Auquel cas il faut d'abord apprendre une autre définition (parce qu'on découvre $\exp$ au lycée, avant de voir les séries entières), puis "oublier et remplacer" cette définition par l'autre. Je trouve ça sans intérêt : on peut juste montrer le théorème que $\exp$ est développable en série entière et s'en servir pour étendre la définition à d'autres objets sans dire "on remplace la définition de la fonction exponentielle réelle" (le changement de définition ne change rien à ses propriétés, juste à comment on les démontrerait).

    Le truc avec ce genre de définitions, c'est qu'elles sont "à effet rétroactif de simplification". Oui, si l'on définit que $n^m$ c'est le cardinal d'un ensemble d'applications d'un ensemble à $m$ éléments vers un ensemble à $n$ éléments, on écarte le problème de $n^m$, mais dans ce cas il est malhonnête de parler de puissances avant la L1. Du coup, on introduit $n^m$ de manière naturelle, à des gens qui connaissent moins de maths, en disant que c'est $n \times \dots \times n$ ($m$ fois) mais dans ce cas, il est aussi naturel que ces mêmes gens se posent la question de $n^0$ : pourquoi ne me l'a-t-on pas défini, est-ce que c'est définissable, qu'est-ce que ça peut valoir, est-ce que c'est un choix arbitraire (donc une définition posée "comme ça parce que ça nous arrange") ou un résultat qui se démontre, quid du cas $n=0$ si on étend déjà les définitions... d'ailleurs, personne n'a rebondi sur Médiat qui a écrit $\displaystyle \lim_{x \to 0}0^x = 0$*

    Je trouve aussi mieux de définir que $n! = |\mathfrak{S}_n|$ et de calculer sa valeur par récurrence, je trouve ça plus propre. On a une définition unique, et le reste c'est des théorèmes : on prouve que $0!$ $1!$ sont définis et qu'ils valent $1$, puis que $n!$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ pour $n \geqslant 2$. C'est plus "propre" à mon sens que de faire l'inverse, définir $n!$ par $0!=1$ puis $n!=(n-1)! \times n$ parce que ici, $0!=1$ sort un peu de nulle part, on peut penser qu'il a été choisi arbitrairement (ce qui n'est pas le cas dans "ma version"), et du coup l'élève curieux se demande pourquoi et veut une réponse satisfaisante (d'autant plus que "le produit des entiers $1$ jusqu'à $n$" ne fonctionne pas trop avec $0$). La suite, c'est de la philo : à mon sens, on donne un nom aux objets importants (c'est pour ça que $\pi$, $e$, $i$, $\ln$, $\zeta$ ont des noms précis et d'autres objets n'en ont pas, comme la plus grande racine du polynôme $x^7-2x^2+3$) et après on leur donne une valeur. D'autres préfèreront faire autrement pour d'autres raisons, et dans le cas précis de la factorielle, je me réserve le droit de trouver ma façon de faire meilleure et plus pédagogique :-D.

    *Médiat : Je ne rejette pas pour autant ce que tu racontes. On risque de finir hors-sujet ici mais si tu peux me donner une "justification" de ce calcul de limite, dans ou hors ZFC, raconte-moi ça en message privé si tu veux bien :-). Dans ZFC en tout cas, je ne peux pas accepter ce calcul puisque $0^x$ n'existe jamais... $\ln(0)$ connais pas !
  • On n'a jamais empêché personne de récrire Bourbaki, par exemple pour obtenir des définitions et théorèmes qui ont un contenu algorithmique.
    J'en connais qui ont essayé [voir ici] ... avec succès !
    Mais il faut déjà commencer par lire avant d'entreprendre une telle démarche critique ;-)
  • Je rappelle que pour beaucoup d’entiers naturels $n$, $\quad \displaystyle n!=\prod_{k=1}^{k=n} k.$
    Je dis ça par rapport au thème « que donne le produit vide ? » du fil.
    Ça peut donc convenir dans un premier temps de parler du produit des $n$ premiers entiers non nuls et … ça commence à $n=2$ si on aime « la multiplication des enfants ».
    Avant de parler de cardinal, de permutations, etc.

    Je dis à nouveau : avec cette « horrible définition pestiférée », la question de $1!$ et $0!$ est légitime et n’est pas un problème psychologique.
    D’ailleurs… que devient $(-5)!$, ensuite ?
    Avec un peu de cohérence et de modernisme, il faudrait absolument définir ce $n!$ avec la fonction $\Gamma$, et dès la moyenne section d’ailleurs.

    Je suis d’accord qu’enfoncer le clou un dimanche ne se fait pas.
  • si tu peux me donner une "justification" de ce calcul de limite, dans ou hors ZFC

    On peut regarder $0^0$ comme le prolongement (pas la limite) de $a^b$ où $b$ est entier et $a^b$ consiste à multiplier $b$-fois $a$ par lui-même (et si pour $b=1$, définition tient à peut près, pour $b=0$ c'est moins clair, mais clairement $a^0 = 1$ est le choix naturel, mais aussi on peut le voir comme la limite de $e^{b\ln(a)}$, en choisissant de calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}e^{x\ln(x)}$ on trouve bien 1, mais il s'agit d'un choix, on aurait pu en faire d'autres, enfin dans ZFC $a^b$ est l'ensemble des application de $b$ dans $a$, et il est trivial que $|\emptyset^\emptyset| = 1$ (pas de choix ni de convention ici)

    https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/166012-finir-0-0-a.html pour plus de détails
  • Heu ... Médiat, ta première méthode donne deux valeurs selon que l'on prolonge $0^n$ ou $n^0$. C'est bien pour cela qu'il faut faire attention au domaine de travail quand on utilise cette convention. Par exemple, considérer que la fonction $x\mapsto 0^x$ définie sur $\mathbb Q^+$ vaut 0 partout, sauf en 0 où elle vaut 1, n'est pas très rationnel ( ;-) ).

    Cordialement.
  • gerard0 : c'est exactement ce que je dis depuis le début : il y a 3 objets définis sur 3 domaines, qui sont égaux sur l'intersection des domaines, 1 où $0^0=1$ est prouvable (ZFC), un autre où c'est une convention naturelle (ce que l'on prolonge c'est $a^n$, dont on peut facilement donner une définition par récurrence), et une troisième où le choix de $x^x$ n'est pas aussi naturel (l'exemple que vous donnez et que j'avais évoqué), même si, in fine, il se justifie, ne serait-ce que pour avoir le même résultat dans les 3 cas.
  • Pourquoi rejeter le prolongement de $0^n$ ? Qui se définit lui-aussi par récurrence.
  • Je n'ai pas rejeté, je dis juste que dans le secondaire, on explique le sens de $a^n$ pour $n>1$ il est donc naturel de se poser la question pour $n = 1$ et $n = 0$. Regardez le lien que j'ai donné.

    Pour que les choses soient claires : sauf dans le cas de ZFC $0^0=1$ est une convention (par rapport aux définitions de base qui ne l'incluent pas), qui se révèle la plus pratique.
  • gai requin a écrit:
    On n'a jamais empêché personne de récrire Bourbaki, par exemple pour obtenir des définitions et théorèmes qui ont un contenu algorithmique.
    J'en connais qui ont essayé [voir ici] ... avec succès !
    Mais il faut déjà commencer par lire avant d'entreprendre une telle démarche critique
    Dans ce fil Bourbaki désigne l'épouvantail qui a servi de prétexte pour purger l'enseignement des mathématiques de tout contenu formel jusqu'aux définitions même, sous prétexte d'épargner les petits enfants qui pleurent.

    Quant à "il faut commencer par"; non a priori il ne "faut" commencer par rien pour accomplir quelque chose. Il peut être utile de commencer par se renseigner sur les bases de la correspondence de Curry-Howard et l'interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov bour aborder ce genre de travaux (il s'agit essentiellement de développements intuitionnistes). Un programme qui compile est un programme qui compile et ceci ne peut être contesté si par exemple ledit programme est écrit par un singe qui tape au hasard sur un clavier et non par un expert.

    Comme autre exemple de formalisation réussie il y a par exmple http://us.metamath.org/
  • Mais, pourquoi parler d’algorithme ?
    Un cerveau est-il un processeur ?
    Est-ce qu’un ordinateur appréhende telle ou telle chose ?

    La caricature dans un sens : ne plus rien faire de formel.
    La caricature dans l’autre sens : définir $x\mapsto x!$ avec la fonction $\Gamma$.

    Cherchons un curseur au lieu d’envoyer des balles de ping-pong en dehors de la table.
  • Voyons Foys, tu sais très bien que parmi ceux qui sont de virulents critiques de Bourbaki, presque personne ne l'a lu en profondeur et c'est bien là le problème.
    On sait quand même que tout n'est pas parfait : des logiciens critiquent leur théorie des ensembles et Claude Quitté n'apprécie pas du tout leur théorie des diviseurs en algèbre commutative, après l'avoir pourtant étudiée en long, en large et en travers.
    Serre lui-même, [quelque part ici], dit en substance que certains chapitres gagneraient beaucoup à être récrits...

    Et surtout merci pour ce lien vers metamath ;-)
  • Interlude:
    Dans le fichier ci-dessous, on montre (dans un autre formalisme que celui de la théorie des ensembles, a fortiori sans ZFC) que le produit d'une liste vide est un élément neutre dans un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, sous des hypothèses minimalistes (le produit d'une liste réduite à un élément $x$ est $x$ lui-même; le produit des produits de deux listes est égal au produit de leur concaténation). Le programme fait 51 lignes et définit toutes les notions.
    (*ce programme compile avec coq 8.9*)
    
    Section magma.
    
      Variable M:Type.
      Variable op: M -> M -> M.
    
      Inductive liste:Type:=
      |liste_vide: liste
      |ajout: M -> liste -> liste.
    
      Fixpoint concat (p q:liste) {struct p}:=
        match p with
        |liste_vide => q
        |ajout h t => ajout h (concat t q)
        end.  
      
      Variable pseudo_produit: liste -> M.
    
      Hypothesis ASSOCIATIVITE: forall x y z:M, op (op x y) z = op x (op y z).
      Hypothesis PP1: forall x:M, pseudo_produit (ajout x liste_vide) = x.
      Hypothesis PP2: forall p q:liste,
          pseudo_produit (concat p q) = op (pseudo_produit p) (pseudo_produit q).
    
      Definition neutre:M:= pseudo_produit liste_vide.
    
      Theorem neutre_gauche: forall x:M, op neutre x = x.
      Proof.
        intros.
        unfold neutre.
        apply eq_trans with
            (y:= op (pseudo_produit liste_vide) (pseudo_produit (ajout x liste_vide))).
        rewrite PP1 with (x:=x); reflexivity.
        apply eq_trans with (y:= pseudo_produit (ajout x liste_vide)).
        apply eq_sym. apply PP2 with (p:= liste_vide) (q:= ajout x liste_vide).
        apply PP1.
      Defined.
    
      Theorem neutre_droit: forall x:M, op x neutre = x.
      Proof.
        intros.
        unfold neutre.
        apply eq_trans with
            (y:= op (pseudo_produit (ajout x liste_vide)) (pseudo_produit liste_vide)).
        rewrite PP1 with (x:=x); reflexivity.
        apply eq_trans with (y:= pseudo_produit (ajout x liste_vide)).
        apply eq_sym. apply PP2 with (p:= ajout x liste_vide) (q:= liste_vide).
        apply PP1.
      Defined.     
          
    End magma.
    
    
  • Mais qu’est-ce que ça prouve, Foys ?

    Quelle est la preuve mathématique d’ailleurs sans algorithme ?
  • Je préfère Bourbaki. Eux, au moins, n'écrivaient pas pour les robots.
  • Dom a écrit:
    La caricature dans un sens : ne plus rien faire de formel.
    La caricature dans l’autre sens : définir $x\mapsto x!$ avec la fonction $\Gamma$.

    Donc tu as l'air d'être relativement d'accord avec moi. Je trouve que ce fil fait un peu dialogue de sourds par moments :-D alors extraire un minimum de consensus entre participants, ça fait du bien.

    Trouver un juste milieu est toujours ce qu'il y a de mieux à faire. "Le formel" est fondamentalement nécessaire en maths, donc il faut s'y frotter tôt ou tard. Ce n'est pas pour autant que la globalité des enfants peut faire comme les étudiants de maths dans le supérieur et juste "accepter" un truc hyper formel comme base de travail. D'ailleurs, beaucoup d'étudiants de première année ont du mal avec ces choses-là avant d'en prendre l'habitude : j'en connais plus d'un qui a mis du temps à avaler la définition en 8 axiomes d'un espace vectoriel sur un corps, qui vient littéralement juste après la définition en je-ne-sais-plus-combien d'axiomes d'un corps. C'est quelque chose qui devient naturel avec le temps, on en prend l'habitude, mais c'est toujours utile d'avoir un concept "issu du monde réel" qui illustre le truc au début. D'où l'idée de définir les choses comme la factorielle ou les puissances avec $0$ de façon "naturelle" : après, il reste à choisir ce qu'on trouve "naturel", et là, différentes personnes font différents choix pour différentes raisons (mais mes choix à moi c'est les plus mieux !)
  • Oui, et il y a un sujet dans le sujet : le produit vide se décide-t-il ou se déduit-il ?

    Pour l'instant : on est obligé de le définir ou alors "on admet des trucs et on n'a plus le choix".

    Mais en effet j'ai le sentiment d'être lu mais pas "entendu".
  • Le truc du produit vide a l'air de se faire par analyse-synthèse, au vu de ce qui a été dit : si l'on veut que le produit vide ait une valeur, et qu'elle soit unique, en rassemblant tout ce qui a été dit, il faut l'associativité et un élément neutre. Du coup, l'existence du produit vide est un "théorème-définition" qui montre que sa condition d'existence est d'être dans un monoïde, et que dans ce cas il vaut forcément l'élément neutre.

    Mais ça présuppose qu'on ait défini au préalable le produit indexé par un ensemble non vide (l'objet "naturel" à définir, en somme). Le constructivisme, c'est chiant parce que c'est long et compliqué, et parfois ça l'est "pour pas grand chose", mais au moins quand on a fini on comprend tout et on n'a rien laissé au hasard.
  • C'est surtout cela qui m'interpelle : "si l'on veut que le produit vide ait une valeur".
    Tout part de là.
    Ainsi, un gars a le droit de dire que ce n'est pas évident que le produit vide vaille un truc.
    J'ose dire "c'est tout !".
  • Je pense que ça relève un peu du comportement humain. D'un côté, quand on te donne une règle, la première pulsion qu'on a c'est de vouloir l'enfreindre. Indexé par un ensemble non vide ? Mais je connais un ensemble vide moi, ça donnerait quoi si on le met dans la formule ? D'un autre côté, on a juste une curiosité "non morbide" plus scientifique : étudions tous les cas possibles, on ne sait jamais si ça va servir. Il y a des tas de maths qui n'ont/n'avaient pas (encore) d'application concrète au moment d'être développées, elles ont été développées "parce qu'on pouvait" et parce que quelqu'un avait choisi de s'y intéresser. Alors quand on définit le produit indexé, on réfléchit à tous les cas possibles, et l'indexation par $\varnothing$ devient une question naturelle quand on s'y prend comme ça. C'est du "complétionnisme" mathématique, en gros.
  • C'est plus simple que cela, on peut démontrer des formules incluant des "produits" indexés, et on est obligé de préciser si tel ou tel ensemble est non vide, sauf avec la convention usuelle (ce qui en est la justification)
  • Ça évite surtout de devoir préciser à chaque fois que la famille est non vide. Ça simplifie les démonstrations de ne pas surveiller si à tel ou tel moment la famille ne serait pas vide par hasard et donc on écrirait quelque-chose de non défini. On étend la définition au cas vide de sorte que tout reste cohérent.

    Exemple d'application :

    On sait que le sev engendré par une partie est le plus petit sev la contenant. Donc le sev engendré par la partie vide $\emptyset$ est $\{0\}$.

    D'un point de vue constructif, le sev engendré par une famille $(a_i)$ indexée par $I$ est l'ensemble des combinaisons linéaires presque nulles des $a_i$. Si $I$ est vide on somme sur un ensemble d'indice vide et on retrouve bien le sev engendré $\{0\}$.

    Edit : je redis en partie ce que vient de répondre Médiat
  • Blueberry a écrit:
    On étend la définition au cas vide de sorte que tout reste cohérent.
    En grattant un peu on s'aperçoit qu'on n'étend pas la définition au vide, on retire des clauses qui l'excluaient et qui ont été surajoutées au problème.
  • J'avais un autre exemple en tête :



    La base de l'algèbre $C\ell_{p, q}(\mathbb R)$, est $(1, e_1, \dots , e_n, e_1 \cdot e_2, e_1 \cdot e_3, \dots , e_{n - 1} \cdot e_n, \dots , e_1 \cdot e_2 \cdots e_n )$ en posant $n = p + q$

    c'est-à-dire, tous les éléments de la forme $\displaystyle \prod_{i \in I} e_i$, pour tous les $I \subset [1, n]$

    avec la convention usuelle que $\displaystyle \prod_{i \in \varnothing} e_i = e_0$ on obtient bien les soit $2^{p+q}$ éléments nécessaires.sansavoir rien d'autre à préciser.
  • Foys continue à nier que les mathématiques ont une histoire. Euclide, Newton, Laplace et Gauss n'utilisaient pas l'ensemble vide. Il est vrai qu'il a appris à lire et compter dans Bourbaki ;-)
  • Je sais que tu es d'un naturel à chercher la petite bête gerard0 mais je ne comprends pas exactement ce que tu veux dire.
  • Il manque une virgule, non ?
    Anti-London System !
  • Si l'on laisse un peu sa mauvaise foi de côté, on comprend même sans virgules.
  • gerard0 a écrit:
    Foys continue à nier que les mathématiques ont une histoire. Euclide, Newton, Laplace et Gauss n'utilisaient pas l'ensemble vide. Il est vrai qu'il a appris à lire et compter dans Bourbaki
    Les profs de physique continuent de nier que l'astronomie a une histoire. Ils apprennent la mécanique newtonienne et les lois de Képler aux élèves directement au lieu de passer par l'étape pédagogique obligée des épicycles.
  • En réponse à ce message de HT.
    La notion de produit est à l'origine celle de produit de deux nombres, puis de 3, 4, 20, et même avec les produits infinis, d'une infinité de nombres. Les nécessités d'un calcul général ont amené à définir par extension, le produit de 1 seul nombre, et le produit de 0 nombres, le produit vide.
    C'est cette histoire, revécue rapidement dans la formation d'un scientifique, que Foys nie en disant "on n'étend pas la définition au vide, on retire des clauses qui l'excluaient et qui ont été surajoutées au problème. " (c'est moi qui souligne)
    Foys semble vouloir qu'il y ait à priori des définitions parfaitement générales (*) et qu'il n'y a pas à savoir d'où ça sort, seulement les appliquer.

    Cordialement.

    NB : Tu noteras qu'il répond complétement à côté avec l'astronomie : On ne commence pas l'astronomie avec la théorie de la relativité et la quantique. Les épicycles de Ptolémée et consorts n'étaient pas de la physique. Et on parle de maths;

    (*) pour notre époque, les Foys de dans 2 siècles les trouveront peut-être trop restrictives.
  • Je suis d'accord sur ça.

    Disons que je préfère introduire les définitions naturelles et les étendre après. Je trouve ça plus pédagogique que de commencer par une définition "peu naturelle" qui cache les difficultés qui ont mené à sa formulation.
  • Il me semble que Gérard envoie le curseur un peu plus dans un sens (le « pas tout formel »).
    Alors que Foys souhaite du « tout formel » et ajoute de l’huile sur le feu avec l’algorithmique.

    Quant au reste des messages, c’est drôle, mais on ressort bien que l’on décide de poser « hop » pour le cas « vide » et que c’est commode. C’est ma thèse depuis le début. Et surtout c’est l’idée qu’il n’y a pas d’évidence.

    Seul l’exemple de BlueBerry, avec les espaces vectoriels engendrés par une partie (définition par « le plus petit sev »), me semble légitime à définir comme ça tout de suite. Ça ne m’effraie pas du tout. Et ça dit « on veut un sev » que ce soit la famille vide ou pas.
    Par contre c’est le terme « engendré » qui est dénaturé de mon point de vue. Dans « engendré » j’ai bien l’image mentale de toutes les combinaisons linéaires fabriquées avec la famille étudiée… dont je ne sais ce que c’est avec les familles vides…
    Enfin, à la place « du plus petit », on peut aussi parler de « l’intersection de tous » et on retombe sur une loi $\cap$ d’abord qui prend deux arguments puis qu’on étend à plusieurs arguments et, rebelote, et « l’intersection sur une famille vide ? » c’est quoi ?

    Tiens, en rédigeant le message, j’ai un problème… est-ce que je déraille ?

    a)
    L’intersection d’une famille vide d’ensembles (sous ensembles d’un ensemble E) … c’est le vide, non ?
    Ha non, le neutre de l’intersection, c’est l’espace tout entier. Donc « l’évidence réclamée » pousse à dire que c’est $E$.

    b)
    L’intersection d’une famille vide d’espaces vectoriels … c’est $\{0\}$, non ? D’après ce que l’on vient de dire (« le plus petit pour l’inclusion, c’est l’intersection de tous »).
    Ha non, c’est l’e.v. de départ puisque c’est le neutre de l’intersection.

    Merci de me dire où je déraille, car d’une part, c’est fort probable et d’autre part j’écris un peu trop vite…
  • Les définitions générales sont mieux quand elles sont plus courtes et plus maniables que les définitions sur des cas particuliers. C'est bien le cas ici je trouve.
  • Dom, pour ton exemple sur l'intersection, il n'y a pas à invoquer la règle du neutre, tu le sais bien.

    Dire que $\displaystyle x \in \bigcap_{i \in I} A_i$ signifie: $(\forall i,~~i \in I \Longrightarrow x \in A_i)$.
    Tous les $x$ vérifiant cette implication, cette intersection est $E$, on a accord entre logique et ''convention''.

    Et pour un espace vectoriel, c'est pareil et on obtient bien un espace vectoriel qui est $E$ lui-même.
  • Dom, je ne rejette pas le formel quand il vient éclairer la situation. J'ai quand même été souvent qualifié de "puriste" dans mon jeune temps. Je dis que la définition formelle ne permet pas de donner une utilité aux mathématiques. Elle n'a pas plus d'intérêt que la règle du jeu des échecs. Mais les maths ont une bien plus grande utilité que les échecs (le jeu).
    Et je le dis bien fort : reprendre les errements du passé n'aide pas à apprendre. On n'apprend pas très bien la géométrie dans les "éléments" d'Euclide, je l'ai vécu !

    Cordialement.
  • @Dom

    Quand on définit $\vect((x_i)_{i\in I}$ comme l'intersection des sev qui contiennent tous les vecteurs $x_i$, cette intersection ne porte jamais sur l'ensemble vide car $E$ est toujours un tel sev.
  • Oui Gérard, j’avais compris ça et mon résumé était bien entendu trop succinct.

    BlueBerry, je suis d’accord, mais « cette règle du neutre » semble tellement prisée que je m’en amusais allègrement.
    On remarque que pour le cas des sev, sans la famille vide, l’intersection fonctionne parfaitement (non ?).
    Elle ne déconne que pour la famille vide. J’oserais taquiner en disant « mince ! ».

    Ça m’évoque un truc hors sujet (quoique…) :
    Dans PGCD, le terme « plus grand » est d’abord compris dans le sens de la relation d’ordre sur $\mathbb R$ puis plutôt dans le sens de la relation l’ordre de la division d’entiers (ou encore l’inclusion des $n\mathbb Z$ dans certains autres…).
    Là encore, ne pas se moquer de ceux qui doutent de l’existence de PGCD(0;0) et ne pas annoncer qu’il s’agit « d’une évidences » avant même d’avoir pris soin de savoir ce qu’appelle l’auteur « un PGCD de deux nombres ».

    Édit : oui, JLapin, je n’avais pas vu ton message mais c’est ça !
  • Bonsoir,

    Dom, ne confondrais-tu pas "l'intersection de la famille vide de sous-espaces vectoriels de $E$" avec "l'intersection de la famille des sous-espaces vectoriels de $E$ contenant l'ensemble vide" ?
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