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Valeur d'une série

Bonsoir à tous !!
S'il vous plaît j'ai besoin d'aide pour calculer explicitement la valeur de cette série : $\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$.
J'ai pensé au télescopage en décomposant ma suite en éléments simples , j'obtiens :
$$ \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-1}{n}+\frac{5}{n+1}-\frac{4}{n+2}
$$ mais là je ne vois rien qui puisse m'aider.
J'ai inséré une somme partielle de cette série dans un logiciel de calcul et j'obtiens : $$\sum_{n=1}^{m}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-m(m+3)}{2(m+1)(m+2)}+ \frac{3}{2} - \frac{3}{m+2}.

$$ J'aimerais savoir si quelqu'un a l'idée d'une méthode qu'on pourra utiliser pour retrouver étape par étape cette formule.
Toutes suggestions est la bienvenue.

Réponses

  • Eh bien, tu as toutes les clés en main ! Si tu injectes ta décomposition en éléments simples dans la somme partielle $\sum_{n=1}^m$, il suffit de couper ladite somme en trois sommes et de faire dans deux d'entre elles un changement de variable pour sommer des $C/n$ au lieu de $5/(n+1)$ ou $-4/(n+2)$. Presque tous les termes se simplifient sauf un ou deux sur les bords.
  • Effectivement ça marche !!
    Merci @Math Voss.
  • Bonjour,

    Si tu écris $5=1+4$ dans le numérateur de la seconde fraction, tu as sous les yeux deux sommes télescopiques.
  • Rien de nouveau sous le soleil. Tout était devant moi .
    Merci @YvesM.
  • Pour exprimer explicitement ce qui a été suggéré:

    \begin{align}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}&= \frac{-1}{n}+\frac{5}{n+1}-\frac{4}{n+2}\\
    &=4\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)\\
    \end{align}
    Ce qui fait apparaître qu'on peut "télescoper".
  • On parle plutôt de somme d'une série.
  • Ok. J'ai finalement vu ça @Fin de partie Merci ; Merci pour la remarque @Chaurien.
  • Bonjour Chaurien

    tu parles de la somme d'une série alors qu'une série est déjà (le plus souvent) une somme infinie de termes
    c'est comme si tu parlais de l'intégrale d'une intégrale numérique au lieu de son résultat

    en fait une série convergente donne un résultat numérique (sa limite), qui n'est pas une somme
    comme une intégrale convergente donne un résultat numérique qui n'est pas une intégrale

    cordialement
  • Une série est par définition la suite de ses sommes partielles. Sa limite est appelée sa somme.
  • Jean Lismonde est connu sur ce forum pour avoir une vision toute personnelle des concepts mathématiques. D'un côté, c'est sympa, le non-conformisme ;-). Mais il faut que les jeunes étudiants qui viendraient à consulter ses messages soient au courant.
  • Bonjour,

    Et profitons-en pour rappeler que "intégrer" signifie aussi tout simplement "résoudre".

    Autrement dit, dès qu'on fait du travail que l'on juge difficile, on est fondé à appeler ça : "intégrer".

    Donc "intégrer une intégrale", ça marche bien. Et puis même, "intégrale", ça veut bien dire qu'il s'agit de quelque chose difficile à trouver, puisqu'il n'est pas toujours évident de primitiver ce qu'il y a dedans.
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