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Théorème de Cesàro et les fonctions

Bonjour
je veux montrer que la réciproque de l'implication suivante est fausse (j'ai perdu beaucoup de temps pour trouver un contre exemple).

Soit $f:[0;\infty[\,\to \R$ une fonction cpm continue par morceaux.
On peut montrer que
$$\lim_{x \to \infty}f(x)=+\infty\quad \Longrightarrow\quad \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t=+\infty.
$$ Merci d'avance.

Réponses

  • On peut imaginer une fonction qui vaut 0 puis 1 successivement, en changeant à chaque intervalle de longueur 1.
  • Non ça marche pas car la fonction est inférieure à 1 donc sa moyenne n’explose pas. Par contre on peut dire la fonction qui vaut x puis zéro à chaque intervalle de longueur 1.
  • L'exemple de RLC ne fonctionne clairement pas, en revanche il n'y a pas grand chose à faire pour le rendre correct : $f$ nulle sur chaque $[2k,2k+1[$ puis valant une constante $a_k>0$ sur $[2k+1,2k+2[$ ; avec des constantes bien choisies, ça va fonctionner.

    EDIT : doublé par pchycorse :-)
  • En fait l'exemple de RLC ne fonctionne pas car la fonction est bornée donc sa moyenne sur $\R^+$ (définie par la limite proposée ici, si existence de la limite) ne peut être infinie, et de surcroît sa fonction étant périodique sa moyenne sur $\R^+$ coïncide avec sa moyenne sur une période.
  • C'est curieux, j'avais édité pour remplacer mon 1 par un x.
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