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Stabilisateur et sous-groupe maximal

Bonjour
Je souhaiterais démontrer que pour tout $n \geqslant 5$ le stabilisateur de $\left\{1,2 \right\}$ pour l'action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ noté $S$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$

J'envisage un sous-groupe $S \subset H$ et je cherche à établir, en supposant l'inclusion stricte, que $H$ contient toutes les transpositions : c'est le cas pour $(12)$ et $(ab)$ lorsque $a,b \geqslant 5$ .

Je bloque en revanche pour établir que $H$ contient également les transpositions $(1a)$ pour tout $ a \geqslant 3$ même en faisant intervenir une permutation $\sigma \in H \setminus S$ telle que $\sigma (1) \geqslant 3$
Au plaisir de lire vos idées sur la question.

Réponses

  • $\newcommand{\Stab}{\mathrm{Stab}}$Bonsoir ludo'
    Il y a un problème car $\Stab(\{1,2\}) \subsetneq \Stab(\{1\})\subsetneq \mathfrak S_n$.
    Alain
  • AD, ta première inclusion est fausse.

    Soit $\sigma$ n'appartenant pas à $S$ et $H$ le sous-groupe engendré par $\sigma$ et $S$. On veut montrer que $H=\mathfrak S_n$. Soit $\tau = (1 \; 2)$.

    Si $\sigma(1)=1$ et $\sigma(2)>2$ alors $H$ contient $\sigma \tau \sigma^{-1}=(1\; \sigma(2))$. En conjuguant encore on trouve que $H$ contient $(1\; i)$ pour tout $i$.

    Si $\sigma(1)>2$ et $\sigma(2)>2$, par exemple $\sigma(1)=3$ et $\sigma(2)=4$, alors $H$ contient $\sigma S \sigma^{-1}$ qui est le stabilisateur de $\{3,4\}$, donc contient $(1\; 2\; 5)$. Par conjugaison il contient $(1\;2\; i)$ pour tout $i\geqslant 3$, etc.
  • merci JLT, je vais lire ta courte démonstration à tête reposée
    @AD: merci pour ta réponse.
    Je signale qu'il existe une démonstration "indirecte" de ce fait, basée sur une action primitive qui équivaut au caractère maximal des groupes stabilisateurs
  • Bonsoir JLT
    Je dois avoir les yeux bouchés, mais

    si $\sigma$ stabilise $\{1,2\}$, alors il stabilise $\{1\}$. Donc $\Stab(\{1,2\})\subset \Stab(\{1\})$.
    Soit alors $\sigma\in\mathfrak S_n,\ n\geq 3$ défini par $\sigma(1)=1$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=2$ et $\sigma(i)=i,\ i>3$.
    On a bien $\sigma\in\Stab(\{1\})$ et $\sigma\notin \Stab(\{1,2\})$ donc $\Stab(\{1,2\})\subsetneq \Stab(\{1\})$.
    Où me tompé-je ?
    D'autre part $\Stab(\{1\})\subsetneq \mathfrak S_n$ de manière évidente !
    Alain
  • Stabiliser $\{1,2\}$, cela peut être permuter $1$ et $2$, non ?
  • En fait tu ne dois pas avoir la même définition de $\mathrm{Stab}(A)$.

    On considère que $\mathfrak S_n$ agit sur l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$ par $\sigma\cdot A = \sigma(A)$. Alors $\mathrm{Stab}(A)$ est le stabilisateur de $A$ pour cette action.

    En particulier $\mathrm{Stab}(\{1,2\})$ est l'ensemble des $\sigma$ telles que ($\sigma(1)=1$ et $\sigma(2)=2$) ou ($\sigma(1)=2$ et $\sigma(2)=1$).
  • Ah oui ! J'étais donc hors de la plaque :-(.
    Merci MathCoss et JLT de m'avoir ouvert les yeux !
    Alain
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