Stabilisateur et sous-groupe maximal
Bonjour
Je souhaiterais démontrer que pour tout $n \geqslant 5$ le stabilisateur de $\left\{1,2 \right\}$ pour l'action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ noté $S$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$
J'envisage un sous-groupe $S \subset H$ et je cherche à établir, en supposant l'inclusion stricte, que $H$ contient toutes les transpositions : c'est le cas pour $(12)$ et $(ab)$ lorsque $a,b \geqslant 5$ .
Je bloque en revanche pour établir que $H$ contient également les transpositions $(1a)$ pour tout $ a \geqslant 3$ même en faisant intervenir une permutation $\sigma \in H \setminus S$ telle que $\sigma (1) \geqslant 3$
Au plaisir de lire vos idées sur la question.
Je souhaiterais démontrer que pour tout $n \geqslant 5$ le stabilisateur de $\left\{1,2 \right\}$ pour l'action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ noté $S$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$
J'envisage un sous-groupe $S \subset H$ et je cherche à établir, en supposant l'inclusion stricte, que $H$ contient toutes les transpositions : c'est le cas pour $(12)$ et $(ab)$ lorsque $a,b \geqslant 5$ .
Je bloque en revanche pour établir que $H$ contient également les transpositions $(1a)$ pour tout $ a \geqslant 3$ même en faisant intervenir une permutation $\sigma \in H \setminus S$ telle que $\sigma (1) \geqslant 3$
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Réponses
Il y a un problème car $\Stab(\{1,2\}) \subsetneq \Stab(\{1\})\subsetneq \mathfrak S_n$.
Alain
Soit $\sigma$ n'appartenant pas à $S$ et $H$ le sous-groupe engendré par $\sigma$ et $S$. On veut montrer que $H=\mathfrak S_n$. Soit $\tau = (1 \; 2)$.
Si $\sigma(1)=1$ et $\sigma(2)>2$ alors $H$ contient $\sigma \tau \sigma^{-1}=(1\; \sigma(2))$. En conjuguant encore on trouve que $H$ contient $(1\; i)$ pour tout $i$.
Si $\sigma(1)>2$ et $\sigma(2)>2$, par exemple $\sigma(1)=3$ et $\sigma(2)=4$, alors $H$ contient $\sigma S \sigma^{-1}$ qui est le stabilisateur de $\{3,4\}$, donc contient $(1\; 2\; 5)$. Par conjugaison il contient $(1\;2\; i)$ pour tout $i\geqslant 3$, etc.
@AD: merci pour ta réponse.
Je signale qu'il existe une démonstration "indirecte" de ce fait, basée sur une action primitive qui équivaut au caractère maximal des groupes stabilisateurs
Je dois avoir les yeux bouchés, mais
si $\sigma$ stabilise $\{1,2\}$, alors il stabilise $\{1\}$. Donc $\Stab(\{1,2\})\subset \Stab(\{1\})$.
Soit alors $\sigma\in\mathfrak S_n,\ n\geq 3$ défini par $\sigma(1)=1$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=2$ et $\sigma(i)=i,\ i>3$.
On a bien $\sigma\in\Stab(\{1\})$ et $\sigma\notin \Stab(\{1,2\})$ donc $\Stab(\{1,2\})\subsetneq \Stab(\{1\})$.
Où me tompé-je ?
D'autre part $\Stab(\{1\})\subsetneq \mathfrak S_n$ de manière évidente !
Alain
On considère que $\mathfrak S_n$ agit sur l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$ par $\sigma\cdot A = \sigma(A)$. Alors $\mathrm{Stab}(A)$ est le stabilisateur de $A$ pour cette action.
En particulier $\mathrm{Stab}(\{1,2\})$ est l'ensemble des $\sigma$ telles que ($\sigma(1)=1$ et $\sigma(2)=2$) ou ($\sigma(1)=2$ et $\sigma(2)=1$).
Merci MathCoss et JLT de m'avoir ouvert les yeux !
Alain