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Réciproque de la division euclidienne

Bonjour,

Soient $A$ un anneau commutatif et $(P,B)\in A[X]^2$.

Le théorème de la division euclidienne nous donne l'implication suivante :
$(B$ admet un coefficient dominant $b$ inversible) $ \\
\qquad \implies (\exists! (Q,R)\in A[X]^2\quad P=BQ+R\text{ et }\deg(R)<\deg(B)).$
Est-ce qu'il s'agit en fait d'une équivalence ?

J'ai essayé de montrer la contraposée. Supposons $\neg (B$ admet un coefficient dominant $b$ inversible$)$. On a donc deux cas possibles :
1) $B=0$.
2) $B\neq 0$ et $b$ existe mais n'est pas inversible.

Le cas 1) est incompatible avec $(\deg(R)<\deg(B))$ donc c'est bon.
Reste à traiter le cas 2), pour lequel je tourne en rond.

Réponses

  • Si polynôme $P$ est fixé, ce n’est pas une équivalence : tu peux faire la division euclidienne de $4X+1$ par $2X$ dans l’anneau $\Z[X]$.

    Si tu impose de pouvoir faire la division euclidienne de $P$ par $B$ pour tout polynôme $P\in A[X]$, je pense que la condition est nécessaire et suffisante (en utilisant la division euclidienne de $X^{\deg(B)}$ par $B$), mais il faudrait l’écrire proprement pour en être sûr.
  • En effet, merci.
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