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Une suite croissante pour tout n, vraiment ?

Bonjour à tous,
Si on définit pour tout n, u(n) = f(n) alors si la suite (un) et f ont le même sens de varaition.
En écrivant un exemple j'ai trouvé une suite croissante mais : u(1) - u(0) > 0, u(2) - u(1) < 0 puis seulement à partir de n>=2 on a u(n+1) - u(n) >0.

Ma question vient du fait que la définition que j'ai apprise d'une suite croissante c'est que POUR TOUT ENTIER n, elle est croissante ssi u(n+1) - u(n) >0

Est-ce que je pinaille ? Est-ce que je me trompe ?

Du coup dans mon exemple, la suite est donc croissante à partir d'un certain rang ?
Et donc ma définition est mauvaise ?

Merci pour vos éclaircissements

Réponses

    1. Ce que tu cites n'est pas une définition d'une suite croissante mais une caractérisation. La définition est la même que pour une fonction croissante : $u$ est croissante si pour tout couple d'entiers $(n,p)$, si $n\leq p$ alors $u_n\leq u_p$.
    2. Si la suite $u$ que tu as testée vérifie $u_2<u_1$, effectivement, elle n'est pas croissante.
    3. Par abus de langage, on dit que la suite $u$ est croissante à partir du rang $n_0$, lorsque la suite $v=(u_{n+n_0})_{n\in\N}$ est croissante.
  • Avec des fonctions comme $f(x) = \sin(2\pi x)$, c'est faux que "$(f(n))_n$ et $f$ ont le même sens de variation", il faut faire attention à ce genre d'affirmations. Avec $f$ monotone oui, là c'est garanti.

    Sinon, comme dit bisam, tu as bien relevé un problème ici. Cependant, quand on parle de suite croissante, très souvent c'est effectivement juste "à partir d'un certain rang", surtout quand on s'intéresse à la limite de la suite. Dans l'absolu, une suite croissante doit l'être tout le temps, mais pour un calcul de limite (ou le comportement asymptotique) on se fiche des "premiers" termes.
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