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Sur le lemme de Zorn

Soit $X$ un espace de Banach, $M$ a est un sous-ensemble convexe fermé de $X$ et $T:M\rightarrow M$ une application continue.
Soit $K=\overline{\text{Conv}}(T(M))$.
Considérons maintenant la famille de sous-ensembles suivante de $K$ :
$$
\mathcal{F}:=\{C \subseteq K\mid C \text{ est fermé, convexe et } \mathrm{T}- \text{invariant}\}.

$$ Je veux appliquer le Lemme de Zorn à cette famille. Pour ce faire, j'ai besoin de voir si $\mathcal{F}$ a la propriété d'être inductif ?
"toute chaîne non vide possède un majorant dans $\mathcal{F}$."
Une aide avec ça ?

Réponses

  • Je pense que $T$ est continue. Si oui ton majorant tu l'obtiens en prenant l'adhérence de l'union des éléments de ta chaîne.
  • Ah je vois. Pour le fait que cet ensemble est fermé stable par $T$, c'est clair. Maintenant, pour la convexité c'est là où on doit utiliser la "total-ordonné" n'est-ce pas ?
  • En ce qui concerne la convexité, le "total-ordonné" te donne immédiatement que l'union des éléments de ta chaîne est convexe. Ensuite il faut utiliser le fait que l'adhérence d'un convexe est convexe.
  • Parfait. Je ne sais pas si vous avez un petit moment pour cette discussion ou pas. Mais bon, j'espère que c'est le cas.

    On travaille sur ce papier, Theorem $3.1$, les auteurs ont imposé une condition qui me semble "n'est pas nécessaire", la "relative faible compacité de $T(M)$" traduction de "$T(M)$ is relatively weakly compact".

    Leur preuve est basée sur Zorn, et apparemment on ne l'a pas utilisé ici.. Que pensez-vous ?
  • Bon j'ai regardé et en fait ils appliquent le lemme de Zorn dans l'autre sens, ceci afin d'obtenir un élément minimal (et non maximal). C'est-à-dire qu'il faut montrer que toute chaîne non vide possède un minorant.

    Et c'est pour montrer qu'il existe un minorant qu'ils ont besoin de la compacité faible.

    Plus précisément : en faisant l'intersection des éléments de la chaîne on a bien un minorant. Le problème c'est qu'il faut montrer que l'intersection est non-vide. Or étant donné que les éléments de la chaîne sont tous compacts pour la topologie faible, l'intersection ne peut pas être vide.

    Donc la compacité faible est bien utilisée.


    Edit : D'ailleurs en relisant le théorème 3.1 on s'aperçoit que $K$ est lui-même dans $\mathcal{F}$ et par conséquent appliquer directement Zorn ("à l'endroit") ne sert à rien étant donné que $K$ est déjà un élément maximal...
  • Vous avez raison, c'est exactement ça. Malheureusement, je n'ai pas fait attention .
    Merci infiniment.
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