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Condition minimale sur le degré

Bonjour

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire vraiment quelconque et soit $(P,Q)\in A[X]^2$.
Quelle est la condition la plus minimale (dans le sens le moins de contrainte possible sur $A$, les éléments de $A$, $P$, $Q$, etc.) que vous donneriez pour avoir l'égalité :
$$
\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)\quad ?

$$
J'ai certaines conditions mais je ne suis pas sûr d'être arrivé au minimum.

[$\LaTeX$ fournit la commande \deg. ;-) AD]

Réponses

  • Pour que la formule soit vraie pour tout polynôme de $A[X]$, il faut et il suffit que l'anneau $A$ soit intégre.
  • Désolé mon message n'est pas clair, je demande une contrainte pour $P$ et $Q$ fixés.
  • Il faut et il suffit que les coefficients dominants de $P$ et $Q$ n'aient pas un produit nul.
  • Merci, sauf erreur je dirais plutôt qu'au moins un des deux polynômes $P$ et $Q$ admet un coefficient dominant régulier ?
  • Le produit de deux éléments non réguliers peut être non nul. Par exemple avec les polynômes $2X$ et $3X$ dans $\mathbb Z/12\mathbb Z[X]$.
  • En effet.

    La formule $\deg (PQ)=\deg (P)+\deg(Q)$ reste toutefois vraie si $P=0$ ou $Q=0$ (et devient $-\infty=-\infty$). Du coup, ne faut-il pas compléter ta CNS comme cela : « $P=0$ ou $Q=0$ ou $\mathrm{cd}(P)\mathrm{cd}(Q)\neq 0$ » ?

    ($\mathrm{cd}=$ coefficient dominant)
  • Si tu tiens à inclure le polynôme nul dans ton énoncé, alors oui.
  • Merci Poirot !
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