Sous-espace de $\mathcal{C}^0([0,1],\R)$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Sous-espace de $\mathcal{C}^0([0,1],\R)$

Bonjour à tous,
je m’interroge sur le problème suivant.

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ et soit $p\geq 1$ un nombre réel.
Je me demande si l’équivalence suivante est vraie : le sous-espace vectoriel $F$ est de dimension finie si et seulement si les normes $\|\cdot\|_p$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont équivalentes.

Bien évidemment, le sens direct est classique. C’est la réciproque qui m’intéresse. Je sais que cette propriété est vraie pour $p\geq 2$ et je me demande ce qu’il se passe pour $1\leq p<2$, mais je n’ai pas de piste pour le moment.
Merci pour vos idées !

Réponses

  • On peut se ramener au cas $p\geq 2$ on dirait car si $q>p$ alors $\|f\|_p\leq \|f\|_q$ par Hölder.
  • En fait, je sais démontrer la propriété dans le cas $p=2$ (en utilisant la structure d’espace préhilbertien) et on en déduit avec ta remarque, sauf erreur de ma part, qu’elle est vraie pour $p\geq 2$.

    Il me reste donc à étudier le cas $1\leq p <2$.
  • Oui mais si $1\leq p <2$ alors $\|f\|_p\leq \|f\|_2$ par Hölder, donc si $\|\cdot\|_p$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont équivalentes alors $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_\infty$ aussi.
  • Si $1\leq p\leq 2$ $$\inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_p}{||f||_{\infty}} \leq \inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_2}{||f||_{\infty}}=0.
    $$ Et si $2<p<\infty$ $$\inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_p}{||f||_{\infty}} \leq \inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_2^{\theta} ||f||_{p+1}^{1-\theta}}{||f||_{\infty}}
    \leq \left(\inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_2}{||f||_{\infty}} \right)^{\theta} =0$$ par interpolation avec $p=2\theta+(p+1)(1-\theta)$, $\theta\in(0,1)$.

    [Correction ultérieure : la relation d'interpolation est en fait $\frac{1}{p}= \theta \frac{1}{2}+ (1-\theta) \frac{1}{p+1}$.]

    Comment traitez-vous le cas $p=2$ ?
  • pas de réponse ...
  • Désolé, j’ai beaucoup de travail en ce moment et j’avais oublié cette discussion.
    Il faut que je retrouve ma démonstration pour le cas $p=2$. Dès que je l’ai retrouvée, je la poste.
  • Pour le cas $p=2$. Si $||\cdot||_{\infty}\leq C^2||\cdot||_2$ sur $F$, alors pour toute famille orthonormée $\{f_1,...,f_n\}$ dans $F$ pour $||\cdot||_2$, pour tout $x$ dans $[0,1]$ et pour tous réels $c_1,..c_n$, on a
    $$\left(\sum_{k=1}^n c_k f_k(x)\right)^2 \leq \left\|\sum_{k=1}^n c_k f_k\right\|_\infty^2 \leq C^2\left\|\sum_{k=1}^n c_k f_k\right\|_2^2 \leq C^2\sum_{k=1}^n c_k^2.$$
    A $x$ fixé, on passe au sup sur les $c_k$ tel que $\sum_k c_k^2\leq 1$ et on obtient:
    $$\sum_{k=1}^n f_k(x)^2\leq C^2.$$
    En intégrant en $x$ sur $[0,1]$ on déduit que $n\leq C^2$. On conclut donc que $F$ est de dimension finie inférieure à $C^2$.

    Le cas $p<2$ en découle en effet, pour le cas $p>2$ c'est pas si clair. Et plus généralement, peut on conclure que si $||\cdot||_p$ et $||\cdot||_q$ sont équivalentes sur $F$ avec $p\not=q$ alors $F$ est de dimension finie?
  • Pour le cas $p>2$, supposons que $||\cdot||_{\infty}\leq C||\cdot||_p$ sur $F$.

    On a pour tout $f\in F$,

    $\displaystyle \|f\|_p^p=\int_0^1 |f(x)|^p dx = \int_0^1 |f(x)|^{p-2}|f(x)|^2 dx \leq \|f\|_{\infty}^{p-2}\int_0^1 |f(x)|^2 dx \leq \|f\|_{\infty}^{p-2}\cdot \|f\|_2^2\leq C^{p-2} \|f\|_p^{p-2}\|f\|_2^2$

    Donc $\|f\|_p^2\leq C^{p-2} \|f\|_2^2$ et $\|f\|_p\leq C^{\frac{p-2}{2}} \|f\|_2$.

    On retombe donc sur le cas $p=2$ et par conséquent $F$ est de dimension finie.

    Pour des résultats plus généraux voir http://agregmaths.free.fr/doc/docs_nicolas/developpement Analyse/sous-espace ferme de Lp.pdf

    PS. je suis tombé sur ce document et sur la ligne de calcul ci-dessus en cherchant "sous-espaces fermés de $L^p$", en effet si $||\cdot||_p$ est équivalente à $||\cdot||_{\infty}$ sur $F$ alors quitte à compléter, on peut supposer $F$ fermé)
  • @Namiswan : Merci! C’était essentiellement la même démonstration que j’avais.

    @Raoul : Merci pour ton message et pour le document qui a l’air de traiter le cas général.

    J’avais l’impression que le cas difficile était $p<2$, alors que ce c’est pas du tout le cas : c’est trivial à partir du cas $p=2$. Je m’étais embrouillé avec le sens des inégalités…

    Merci à tous!
  • Je constate que personne n'a lu ce que j'avais écrit alors que j'avais déjà traité le cas $p>2$.
  • perforatrice à papier moi j'ai lu mais je n'ai pas compris... :-D

    Je ne comprends pas pourquoi tu écris $\inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_p}{||f||_{\infty}} =0$.
  • Holder, oeuf corse! Merci Raoul
  • raoul.S écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2306530,2311042#msg-2311042
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    MrJ disais avoir montré que $||.||_2$ et $||.||_{\infty}$ ne sont pas équivalentes sur $F$, donc $\displaystyle \inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_2}{||f||_{\infty}}=0$ (l'autre option $ \displaystyle \sup_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_2}{||f||_{\infty}}=+\infty$ est impossible car $||.||_2 \leq ||.||_{\infty}$). J'en déduis $\displaystyle \inf_{f \in F,f\neq0} \frac{||f||_p}{||f||_{\infty}}=0$, donc $||.||_p$ et $||.||_{\infty}$ ne sont pas équivalentes sur $F$.
  • perforatrice à papier ok je crois avoir compris. En fait tu démontres la contraposée : si $F$ est de dimension infinie alors $||.||_{p}$ et $||.||_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.

    Je n'avais pas vu que c'était la contraposée. Bon, je crois ne pas avoir été le seul on dirait... 8-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!