Fonction paire et périodique — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Fonction paire et périodique

Bonjour,

Soit $f$ une fonction paire de période $2P$ ; le résultat suivant est-il vrai ?
Si $f$ est continue sur $]0\ ; P[$, continue à droite en $0$ et continue à gauche en $P$, alors $f$ est continue sur $\R$.

A+

Réponses

  • Bonjour,

    Par parité $f$ est définie sur $]-P,0[$ et continue à gauche en $0$. Comme en $0$ la limite à gauche et la limite à droite sont égales, on a continuité si et seulement si $f(0)$ est égal à cette limite commune. Mais rien ne le garantit.

    Par exemple : $f(0)=1$ et $f(x)=x^2$ sur $]-P,0[$U$]0,P[.$

    De même en $P$.

    Donc non.
  • YvesM
    Pas compris. Dans ton exemple la fonction n’est pas continue à droite en zéro.
  • RE

    J'aurais tendance à raisonner comme suit :
    --- par symétrie $f$ est continue sur $]{-}P\ ; 0[$, continue à gauche en $0$ et continue à droite en $-P$ ;
    --- par périodicité $f$ est continue à droite en $P$ et continue à gauche en $-P$.
    Mais il y a peut-être une faille quelque part...

    A+
  • Rédige une démonstration complétement vérifiée (par toi : chaque affirmation est le résultat de la mise en application stricte d'une règle ou d'un théorème). Tu sauras alors ...

    Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!