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Homotopie de chemins et surjectivité

Bonjour

Soit $\gamma : [0,1] \to \C$ un lacet continu. Soit $O$ la composante connexe non bornée de $\C\setminus \gamma([0,1])$. Alors $K=\C\setminus O$ est un compact simplement connexe donc si $a\in K$, $\gamma$ est homotope au lacet constant égal à $a$ dans $K$.

Ma question est la suivante, si je note $H : [0,1] \times [0,1] \to K$ une homotopie joignant $\gamma$ à $a$ (où je note encore $a$ le lacet constant égal à $a$), la fonction $H$ est-elle nécessairement surjective ?

Quand je visualise le truc, j'ai l'impression que oui... Mais quelques exemples forcément simples (pour ne pas dire simplistes) sur des dessins ne sont pas une preuve... J'ai pensé à un raisonnement de connexité (montrer que l'image est ouverte et fermée dans $K$), mais je sèche complètement.

Déjà, si c'est faux et que vous avez un contrexemple, ça m'évitera de chercher en vain une preuve... Et si c'est juste, une idée d'argument m'aiderait aussi beaucoup.

Bonne semaine à tous !

Réponses

  • Non, tu peux prendre une sorte de croissant de lune où les pointes se rejoignent et séparer ces pointes.
  • Soit $b \in K\backslash \{a \}$ un point qui n'est pas dans l'image de $H$. Alors le degré des éléments de la famille de lacets $x \mapsto \left (t\mapsto H(x,t) \right)$ par rapport à $b$ change. Est-ce possible?
    NB: Mon argument suppose que $a\notin \gamma = H(0,\_)$.
  • Non, ce degré peut être nul dès le départ et le rester.
  • @Frédéric Bosio: gimax dit que $\C \backslash O$ est simplement connexe dans son message. J'ai pensé qu'on est dans la situation des courbes de Jordan, avec $\gamma$ est injectif. Dans ce cas, d'après le théorème de Jordan-Schoenflies, il existe un homéomorphisme du disque fermé $D(0,1)$ sur $K$ envoyant le cercle sur l'image de $\gamma$ et l'indice de $\gamma$ par rapport un point quelconque de de $K\backslash C$ est égal à $1$.
    De plus je n'arrive pas à visualiser ton contre-exemple.
  • @Frédéric Bosio : Qu'est-ce que tu veux dire par séparer ces pointes ?
  • Merci à vous trois pour votre intérêt pour cette question.

    Frédéric Bosio, je ne comprends pas votre contrexemple. Pouvez-vous détailler un peu s'il vous plaît ?

    Bonne nuit à tous !
  • Foys, $\gamma$ n'est a priori pas une courbe de Jordan, ce qui n'empêche pas $K$ d'être simplement connexe. Si par exemple l'image de $\gamma$ est le lacet en 8, $K$ est la réunion des deux composantes connexes bornées et de l'image de $\gamma$, c'est bien un compact simplement connexe, mais $\gamma$ n'est pas simple pour autant.
  • Hmmm mais si $\gamma$ n'est pas simple pourquoi parles-tu de "la" composante connexe bornée de $\C\backslash \gamma$ ? :-S

    Pour l'exemple de Frédéric Bosio on peut faire comme suit. On parcourt le cercle unité dans le sens trigonométrique en partant de $1$ puis on parcours le cercle de centre $1/3$ de rayon $2/3$ dans le sens inverse. On obtient bien un lacet qui ressemble à un croissant le lune dont les pointes se rejoignent. L'indice de ce lacet par rapport à $0$ est $0$ et on peut tout déplier sans jamais passer par le point $0$.

    Est-ce que c'est effectivement un contre-exemple ? Cela demanderait de clarifier l'énoncé de gimax selon moi. Dans l'exemple de Frédéric Bosio quel est le $K$ considéré ? Si c'est le disque unité alors le contre-exemple est bon. Si c'est l'ensemble des points d'indice $1$ alors la démonstration de Foys devrait répondre à la question.
  • Je pensais à un truc du genre suivant.
    [Contenu du pdf joint. AD]127330
  • Renart, sauf erreur, je ne parle que de LA composante NON bornée de $\C \setminus \gamma$. Et je dis que son complémentaire, qui est la réunion de $\gamma$ et des composantes connexes bornées, est connexe.
  • Renart, je crois que je vois l'idée du croissant. Ça a effectivement l'air d'être un contrexemple. Je vais y réfléchir (c'est-à-dire prendre le temps de tout bien écrire proprement). Merci à tous !
  • Ok au temps pour moi, j'avais zappé le mot "non" devant bornée visiblement.
  • À nouveau merci à tous. Bon, j'ai la flemme d'écrire en détail l'homotopie, mais je suis convaincu par le contrexemple de Renart et Frédéric.

    Encore merci et bonne semaine à tous.
  • Bonjour; j'avais complètement surinterprété les conditions de l'énoncé. Maintenant je vois de quoi il s'agit :-)
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