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Encadrement et irrationnalité d'un nombre

Modifié (November 2021) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous,
Je sèche sur cet exercice... Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance !127296

Réponses

  • Pour la première question il s'agit de connaître une caractérisation des rationnels par leurs développements décimaux.

    Pour la seconde question il doit suffire de calculer les quelques premières décimales.
  • Qu'as-tu essayé ? Connais-tu une caractérisation des rationnels en termes de décimales ?
  • Le b) est facile, il suffit de connaître les premiers nombres premiers.
  • Hello non je ne connais pas la caractérisation des rationnels :-(

    En quoi l'indication du prof peut m'aider (utiliser sans preuve qu'il existe une infinité de nombres premiers) ? En fait je ne sais pas comment commencer l'exo qu'est-ce que je dois poser en premier ?

    Mille mercis pour votre aide !!!
  • Pffff... C'est pénible à démontrer la 1). $\beta$ non décimal ok mais irrationnel...
  • Oui, ça demande des connaissances fines sur la répartition des nombres premiers.
  • En tout cas clairement l'infinité des nombres premiers ne va pas suffire. Je me demande quand même si la personne qui a écrit cet exo n'a pas fait un lapsus avec "décimal".
  • Effectivement, il semble qu'on ait besoin d'avoir que la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers est nulle.
  • Les notations sont celles du premier message du fil. Supoosons que ce nombre $\beta$ est rationnel. Son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang (ce résultat est assez connu pour le coup) d'où deux entiers $p,q>1$ et des entiers $c_1< c_2 ...<c_k$ de $0,...,q-1$ tels que pour tout $n \in \N$ supérieur à $p$, $n$ est premier si et seulement si il est de la forme $qm+c_i$ pour certains $m\in \N, i \in \{1,...,k\}$ (*).

    $\{c_1,...,c_k\}$ n'est pas vide sinon l'ensemble des nombres premiers est fini (ils seraient tous inférieurs à $p$, je pense que c'était cela l'intention de l'auteur de l'exo).

    Or soit $r$ un nombre premier ne divisant pas $q$ (puisque leur nombre est infini). Alors $r$ est inversible modulo $q$. Soit $i\leq k$; il existe donc un entier $s$ tel que $c_i = rs$ modulo $q$ et ceci entraîne que pour tout entier $n$, $r(s+nq)$ est à la fois composé et de la forme $qm+c_i$ pour un certain $i$. Ceci est incompatible avec (*) ci-dessus.
  • Il est facile de prouver que pour tout $n\geqslant 1$, on peut trouver $n$ entiers consécutifs non premiers. Ceci justifie que le développement décimal de $\beta$ contient des suites de $0$ arbitrairement longues, et donc ne peut être périodique.
  • @Guego: simple et efficace!
  • Autre méthode sans rien connaître à la répartition des nombres premiers.

    Si $\beta$ est rationnel alors son développement décimal est périodique de période $T\in \N^{*}$ à partir d'un certain rang et par conséquent il existe un nombre premier $p$ tel que pour tout $k\geq 0, p+kT$ est premier. Or en prenant $k=p$ on voit que ceci est absurde.
  • Peut-on aller plus loin et démontrer (par exemple) que $\beta^2\notin\Q$ ?

    Je n'y ai pas encore réfléchi, mais je pense que l'on devrait pouvoir adapter l'une des preuves précédentes.
  • J'ai pas mal réfléchi à une approche pour montrer la transcendance de $\beta$, mais toutes les méthodes que je connais échouent ! Si quelqu'un a une idée...
  • Hum, $\beta := \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{b_n}{10^n}$ où $b_n = 1$ si $n$ est premier, $0$ sinon. Et donc, $\displaystyle \beta^2 = \sum_{p \in \mathbb{N}} \frac{b_p}{10^p} \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{b_q}{10^q} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{10^n}\sum_{\substack{p,q\\p+q = n}} b_pb_q = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{gold(n)}{10^n}$ où $gold(n)$ désigne le nombre de couples de premiers $(p,q)$ tels que $p+q = n$.

    Les problèmes qui font intervenir des sommes de deux premiers sont plutôt faciles, d'habitude, non :-D ?

    EDIT : Qui a mis un peu de temps (comme moi) à trouver un entier tel que lui, son successeur, le successeur de son successeur, etc. $127$ fois peut s'intéresser à $127!$.
  • Modifié (November 2021)

    D'après la remarque de Guego, $\beta$ est un nombre transcendant. En effet, pour tout $n\in\mathbb N$, soit $k_n$ un entier pour lequel il y a une suite de $n!$ zéros consécutifs à partir de la $k_n$-ème décimale. On a alors

    $$\left|\beta-\sum_{j=0}^{k_n-1}\frac{b_j}{10^j}\right|=\left|\sum_{j>k_n+n!}\frac{b_j}{10^j}\right|\le\left|\frac1{10^{n!}}\right|.$$

    Cela contredit le théorème de Liouville. En fait, β est un nombre de Liouville.

    On peut prendre $k_n=(n!)!$.

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