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Endomorphismes s'annulant en V sev de E

Bonjour, j'ai refait un exercice que j'ai fait l'année dernière. Donc on pose E un ev de dimension n et V un sev de E. Ensuite on considère l'ensemble des endomorphismes f de E tels que V soit inclus dans ker f.
Il s'agit bien évidement d'un espace vectoriel dont on peut bien sûr trouver la dimension (qui est justement l'objectif de la question d'après).

On considère ainsi un supplémentaire de V sur E et ensuite une base adaptée à la somme directe créée.
(Pour ma part j'ai noté qu'une base de E est (e1, e2, ..., en). Et que, en notant p la dimension de V on avait ainsi une base de V qui est ( e1, ..., ep).)
Ensuite on a f(e1) =... =f(ep)=0 par l'hypothèse de départ.
Et donc on se rend compte qu'il reste simplement à choisir les valeurs des f(ei) pour trouver la dimension de notre espace vectoriel.

Seulement voilà le problème, j'ai pour cela considéré les couples ( x, f(x) ). Avec x dans le supplémentaire de V.
Je suis d'accord que pour x on a seulement n-p éléments, car on identifie en quelque sorte E\V par sa base comme pour écrire la matrice. Mais pourquoi aurait-on n choix possibles pour chaque f(x) alors qu'on peut en créer une infinité en réalité ?

Je pourrais me contenter de l'admettre et passer à autre chose mais je n'y arrive pas et je préfère vous demander votre point de vue qui va sûrement me décoincer de ce mauvais mode de pensée. Désolé à l'avance pour cette question un peu bête je pense.

Réponses

  • Bonjour
    Ce n'est pas tout à fait clair ce que tu dis, même si il y a des choses à exploiter.

    Mais d'abord tu ne dis pas combien tu trouves pour la dimension de l'espace demandé.

    P.S a posteriori je crois comprendre que tu fais une sorte de confusion entre dimension d'un espace vectoriel et cardinal d'un espace vectoriel.

    De toute façon pour régler ce genre de problème, au début, il faut que tu t'obliges à formuler tout raisonnement de la façon la plus parfaite possible.
  • J a écrit:
    Mais pourquoi aurait on n Choix possibles pour chaque f(x)

    Car $f(x)$ se décompose dans la base $(e_1, e_2,.., e_n)$, donc tu as n choix car n composantes.
  • J a écrit:

    Attention. $E\setminus V$ n'est pas supplémentaire de $V$ dans $E$.
  • J a écrit:
    (Pour ma part j'ai noté qu'une base de E est (e1, e2, ..., en). Et que, en notant p la dimension de V on avait ainsi une base de V qui est ( e1, ..., ep).)
    A priori, ceci n'a de sens que si on a pris une base de V qui est ( e1, ..., ep), puis qu'on l'a complétée en (e1, e2, ..., en). Car pour une base quelconque de E, e1 n'a aucune raison d'appartenir à V.

    Maladresse d'expression ?

    Cordialement.
  • J'avais complètement oublié cette discussion. Merci pour vos réponses, j'avais finalement réussi à trouver le bon raisonnement pour ne pas m'embrouiller.
    S'il y a des maladresses dans mes précédents messages c'est sans aucun doute parce que c'était encore flou dans mon esprit.
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