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Égalité avec la transformation de Laplace

Bonjour

On considère l'équation:
\begin{equation}
\frac{f(p)}{f(s_{1})}\mathcal{L}(y)(s_{1})+\frac{g(p)}{g(s_{2})}\mathcal{L}%
(y)(s_{2})=\mathcal{L(}y)\mathbf{(}p),

\end{equation} où $\mathcal{L}$ est la transformation de Laplace de $y$, ce qui est supposée bien définie et soient $f,g$ deux fonctions telles que
\begin{equation*}
f(p)=0\text{ }\Longleftrightarrow p=s_{2},\qquad g(p)=0\text{ }%
\Longleftrightarrow p=s_{1}.

\end{equation*} Je voudrais montrer que la solution de l'équation au-dessus $y$ existe si et seulement si $p=s_{1}$ ou $%
p=s_{2}.$ La preuve de la partie suffisante est claire, pour $p=s_{1}$ on obtient
\begin{eqnarray*}
\frac{f(s_{1})}{f(s_{1})}\mathcal{L}(y)(s_{1})+0 &=&\mathcal{L(}y)\mathbf{(}%
s_{1}), \\
&\Longrightarrow &\mathcal{L}(y)(s_{1})=\mathcal{L}(y)(s_{1}).

\end{eqnarray*} On peut faire de même pour $s_{2}.$ Je bloque toujours sur la partie nécessaire, je voudrais montrer que $s_1$ ou $s_2$ sont les seuls valeurs pour lesquels l'égalité a lieu. Avez-vus des idées les gars ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour
    Je pense que j'ai un contre-exemple.

    On choisit $\displaystyle y(t) = \delta(t)$ de Dirac.
    $\displaystyle f(s) = (1-s)/2$ et donc $s_2=1$.
    $\displaystyle g(s) = (1+s)/2$ et donc $s_1=-1.$

    On calcule $\displaystyle f(s_1) = f(-1) = 1$ et $\displaystyle g(s_2)=g(1) = 1.$

    L'équation devient, avec $\displaystyle L(\delta)(p) = 1$ : $\displaystyle {f(s) \over f(s_1)} + {g(s) \over g(s_2)} ={(1-s)/2 \over 1} + {(1+s)/2 \over 1} =1$, qui est vérifiée pour tout $s$ et non pas seulement pour $\displaystyle s_1$ et $\displaystyle s_2.$
  • Merci beaucoup YvesM, c'est très intéressant. En fait je cherche une solution qui est une fonction $L^1$, je ne sais pas si c'est vrai dans ce cas.
  • Bonjour,

    Prends une fonction $y$ très simple et construit un contre exemple.

    Tu peux essayer avec $\displaystyle y(t) = 1$, $\displaystyle f(s) = {1-s \over 2s}$ et $\displaystyle g(s) = {1+s \over 2s}$... je trouve : $\displaystyle L(1)(t) = {1 \over s}, s_1=-1, s_2=1$ et l'équation est vérifée pour tout $s$ non nul.
  • Merci YvesM, ça répond complètement à ma question.
    Cordialement
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