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Premier $\mathbb Z[ i]\implies \mathbb Z$

Bonjour, d'après mon cours, si on a un nombre premier dans $\mathbb Z[ i]$ alors il l'est aussi dans $\mathbb Z$ mais je ne comprends pas et j'ai aussi l'impression qu'il y a une incompatibilité des ensembles... Merci pour votre aide.

Réponses

  • Bonjour,

    Est ce qu'un polynôme irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ pourrait se factoriser dans $\mathbb{Q}[X]$ ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Il me semble que $1+i$ est un nombre premier dans $\mathbb{Z}[ i]$ et ce n'est manifestement pas un élément de $\mathbb{Z}$.
  • Si $p$ est un entier qui est irréductible dans $\Z[ i]$, alors $p$ est un nombre premier dans $\Z$. S'il y avait une factorisation dans $\Z$, ce serait ipso facto une factorisation dans $\Z[ i]$.
  • Bonjour,

    FdP, j'ai supposé que Code_Name parlait d'un élément de $\mathbb{Z}$ premier dans $\mathbb{Z}[ i]$, comme je parlais moi-même d'un élément de $\mathbb{Q}[X]$ irréductible dans $\mathbb{R}[X]$.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Math Coss a été plus rapide que moi.
  • La question signifie sans doute que si un entier relatif $z \in \mathbb Z$ est un nombre premier, autrement dit irréductible, dans $\mathbb Z[ i]$, alors c'est un nombre premier dans $\mathbb Z$. C'est le côté trivial, car si $z$ n'était pas premier dans $\mathbb Z$, il serait le produit de deux éléments de $\mathbb Z$ dont aucun ne serait une unité, et ne serait donc pas irréductible dans $\mathbb Z[ i]$.
    Plus intéressant est l'autre sens. Un nombre entier relatif premier $p \in \mathbb Z$ est-il encore irréductible dans $\mathbb Z[ i]$ ? P'têt ben qu'oui, p'têt ben qu'non : oui pour $3$ ou $7$, non pour $2$ ou $5$, etc.
  • Sauf erreur de ma part, les raisonnements mentionnés n’utilisent-ils pas implicitement que $\Z^\times = \Z[ i]^\times \cap \Z$?

    Si $A\subset B$ sont deux anneaux, j’ai l’impression qu’une décomposition non triviale d’un élément de $A$ dans $A$ n’est pas nécessairement une décomposition non triviale dans $B$ dans le cas général.
  • Par exemple, il me semble que $X(X+1)$ est irréductible dans $\Q[X,1/X]$, mais il ne l’est pas dans $\Q[X]$.
  • Merci pour vos réponses, un point me perturbe. On sait que les unités de $\mathbb Z$ sont $\{1,-1\}$ et les unités de $\mathbb Z[ i]$ sont $\{1,-1,i,-i\}$. Maintenant, si $p$ est un premier dans $\mathbb Z[ i]$ alors s'il n'était premier dans $\mathbb Z$, il serait le produit de deux éléments de $\mathbb Z$ dont aucun ne serait une unité comme le dit Chaurien. Mais un ou deux de ces éléments peuvent très bien être une des unités restantes de $\mathbb Z[ i]$ qui sont $\{i,-i\}$ non? Par exemple $4 = i (-4i)$ donc on a une unité qui est $i$ dans le produit ce qui ne contredit pas l'irréductibilité de $p$ dans $\mathbb Z[ i]$ si je ne me trompe...
  • C’est lié à ma remarque (la notion d’irréductible dépend par nature des inversibles de l’anneau considéré), mais ici ça fonctionne.

    Soit $p\in \Z$ un élément irréductible dans $\Z[ i]$. Montrons qu’il est irréductible dans $\Z$. Si $p=uv$ avec $(u,v)\in\Z^2$, alors on sait par hypothèse que $u$ (ou $v$) est inversible dans $\Z$, donc $u\in\Z^\times \cap \Z = \{\pm1\}$, donc $u$ est inversible dans $\Z$ et $p$ est irréductible dans $\Z$.
  • Si $x \in \mathbb Z$ n'est pas premier dans $ \mathbb Z$, il est le produit de deux entiers : $x=a_1 a_2$, $a_1 \in \mathbb Z$, $a_2 \in \mathbb Z$, autres que $\pm 1$. Ces nombres $a_1$ et $a_2$ sont des éléments de $ \mathbb Z[ i]$, et ce ne sont pas des unités de $ \mathbb Z[ i]$, puisqu'ils ne sauraient être égaux à $\pm i$ ! Donc $x$ n'est pas irréductible dans $ \mathbb Z[ i]$.
  • Ah je vois merci :-)
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