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Intégrale de Lebesgue

Bonsoir
Pour quelles valeurs de $\alpha\in R$ l’intégrale de Lebesgue $\ \displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^\alpha}d\mu\ $ est-elle convergente ?

Je sais que si l’intégrale généralisée de $\dfrac{1}{x^\alpha}$ converge absolument alors l’intégrale de Lebesgue converge.
Or, l’intégrale généralisée converge ssi $\alpha>1$, donc si $\alpha>1$, l’intégrale de Lebesgue converge.

Comment montrer que si $\alpha\le 1$ alors l’intégrale de Lebesgue diverge.
Merci.

Réponses

  • Tu as une primitive explicite.

    Si le point qui te gêne est le fait de considérer qu'on peut prendre les intégrales sur [1,A] en faisant tendre A vers l'infini tu dois remarquer que ta fonction est positive.
  • Dans ce cas, tu as des fonctions positives. Il n'y a alors pas une grosse différence entre la convergence de l'intégrale de Lebesgue et celle de l'intégrale généralisée.
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