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Les cardinaux des sous-groupes

Bonsoir, j'ai une question à laquelle je ne trouve pas vraiment de solution.

On considère un groupe G fini de cardinal n. Et là je me suis dit "On peut toujours prendre un sous-groupe de G de cardinal <un diviseur du cardinal de G>".
Sauf qu'à ce moment là je me suis dit que finalement "On peut toujours prendre un sous-groupe de G tel que son cardinal soit un facteur premier du cardinal de G".

La 1ere hypothèse me semble logique mais fausse, je ne saurais pas expliquer pourquoi mais j'imagine qu'il doit y avoir beaucoup de contre-exemples (je me trompe peut-être).

Mais la 2ème hypothèse m'a l'air plutôt vraie. Mais le problème est que je ne vois pas comment m'y prendre pour le montrer (surtout si elle est fausse).

Je demande donc votre aide, déjà pour savoir si c'est vrai (que ce soit la 1ère ou 2ème hypothèse) et si c'est le cas un moyen de le démontrer ou une piste de recherche.

Je vous remercie à l'avance.

Réponses

  • La première assertion est fausse. Par exemple, le groupe alternée $\mathfrak{A}_4$, qui est d'ordre $12$, n'admet pas de sous-groupe d'ordre $6$.

    La deuxième assertion est vraie et porte le nom de lemme de Cauchy. Voici une façon de le démontrer avec l'équation aux classes (tu connais ?).

    On se donne un groupe fini $G$ (dont on note l'opération par des produits et le neutre $e$) et un facteur premier $p$ de son ordre $|G|$. On introduit l'ensemble $X$ des $p$-listes d'éléments $(g_1,\dots,g_p)$ de $G$ telles que $g_1g_2\cdots g_p=e$. On fait agir $\Z/p\Z$ sur $X$ par $k\cdot(g_1,\dots,g_p)=(g_{k+1},\dots,g_{k+p})$ où bien sûr $g_{r}=g_{r-p}$ si $r>p$.
    Il y a deux types d'orbites : celles de la forme $(g,\dots,g)$, dont le stabilisateur est $\Z/p\Z$, et les autres, dont le stabilisateur est trivial (pourquoi ?). En écrivant l'équation aux classes, on constate que le nombre d'orbites ayant un stabilisateur non trivial est un multiple de $p$ (pourquoi ?) ; il y a donc une orbite $(g,\dots,g)$ avec $g\ne e$ (pourquoi ?) et c'est gagné (pourquoi ?).
  • J'avoue ne pas tout comprendre directement étant donné que j'ai commencé les groupes il y a peu mais merci beaucoup pour votre réponse, elle me permet de savoir qu'il y a donc bien une démonstration.
    Je vais me documenter un peu plus pour la comprendre.

    MERCI !
  • Voici la version originale, sans action de groupe ni équation aux classes, juste une relation d'équivalence.
  • Je me permets une autre question, est-ce qu'il y a autant de sous-groupes de cardinal p que l'exposant sur p dans la décomposition de n ?

    Edit. MERCI pour cette autre démonstration.
  • Voyons, dans $(\Z/p\Z)^2$ il y a $p^2-1$ éléments d'ordre $p$ et $1$ d'ordre $1$. Il y a donc $\frac{p^2-1}{p-1}=p+1$ sous-groupes d'ordre $p$ (pourquoi ? tu peux commencer par écrire tous les éléments avec $p=2$). Cela répond négativement à ta dernière question.

    (Pour le théorème de Cauchy, ce n'est pas une autre démonstration, au vrai, mais une autre formulation de la même démonstration.)
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