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Suites divergentes et "cardinaux/ordinaux"

Bonjour

Soit $C$ l'ensemble des suites réelles convergentes indexées par $\mathbb{N}$.
Soit $D$ l'ensemble des suites réelles divergentes indexées par $\mathbb{N}$.
Je voudrais comparer finement les cardinaux de $C$ et $D$.

Voici ce que j'ai essayé.
Soit une suite $v \in D$ (par exemple $v_n=n,\ \forall n \in \mathbb{N}$).
Pour chaque $u \in C$, $\ u+v \in D$ donc $\# C \leq \# D$.
Je considère l'ensemble $E$ des suites de la forme $v_n=P(n)$ avec $P$ une fonction polynomiale non constante à coefficients réels.
Ainsi $E \subset D$.
Soit $F$ l'ensemble des suites réelles indexées par $\mathbb{N}$
$\# F=\mathbb{R}^\mathbb{N}=2^{\aleph_0}$
et
$\# E=\mathbb{R}^\mathbb{N}$,
donc $\# D=\mathbb{R}^\mathbb{N}$ car $E \subset D \subset F$ et les inclusions sont strictes car
si $w_n=e^n,\ \forall n \in \mathbb{N}$ est telle $w \in D \setminus E$ et la suite nulle est dans $F \setminus D$.
Ainsi pour chaque suite $u \in C$ et $v \in E$, si $w=u+v$ alors $w \in D$, j'arrive donc à faire correspondre à chaque suite convergente, $2^{\aleph_0}$ suites divergentes.

Il ne reste plus qu'à démontrer que $\# C$ est "beaucoup plus petit" que $\# D$ et c'est là que je bloque, car les suites constantes sont convergentes donc $\# C\geq \# \mathbb{R} = 2^{\aleph_0}$.

Réponses

  • Ben tu as $\#D \leq \#F = 2^{\aleph_0}$ et $2^{\aleph_0} \leq \#C \leq \#D$, donc $\#C = \#D = 2^{\aleph_0}$.
  • Oui, je me demande s'il y aurait une notion plus fine que celle de cardinaux pour distinguer ces ensembles.

    Par ailleurs, je me suis demandé, à quoi ressemble la bijection de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
  • L'ensemble des suites divergentes n'est pas muni d'une structure naturelle (espace vectoriel ou anneau par exemple) qui permettrait d'affiner la comparaison.

    Quant à une bijection entre $\mathbb R^{\mathbb N}$ et $\mathbb N$, il s'agirait de décomposer étape par étape les égalités de cardinaux $\left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \times \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ si on y tient vraiment.
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