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Livres d'arithmétique

Bonjour
Amateur en arithmétique et ayant l'ambition d'augmenter progressivement mes connaissances en arithmétique je souhaiterais savoir si vous connaissez de bons livres d'arithmétique bien écrits et en français.

Concernant mes connaissances, on pourra partir du principe que d'ici à quelques mois j'aurai fini le livre d'Olivier Bordelles, thèmes d'arithmétique.

En vous remerciant,
Al-Kashi

Réponses

  • Si par arithmétique tu entends théorie des nombres, il y a pas mal de domaines différents. Pour une introduction de différentes saveurs (mais surtout algébriques), tu peux regarder du côté du Arithmétique de Marc Hindry. Il y a aussi le très varié Introduction à la théorie des nombres de Hardy et Wright, un peu vieillot.

    Pour bien commencer la théorie algébrique des nombres je te recommande Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel, et pour la théorie analytique Un cours de théorie analytique des nombres d'Emmanuel Kowalski, ou pour aller plus loin Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum. Pour les aspects irrationnalité/transcendance, il y a le Théorie des nombres de Daniel Duverney (et même si tu ne veux pas d'ouvrage en anglais, je ne peux pas ne pas recommander l'excellent Making transcendance transparent de Burger et Tubbs).
  • Merci Poirot pour vos conseils bibliographiques.

    J'ai une question justement. Pensez vous que l'on puisse, en tant que débutant, apprendre la théorie analytique des nombres avec le Tenenbaum ? Bien sur, il faut bien connaitre l'analyse complexe mais, si on ne connait rien à la théorie analytique des nombres, peut on s'y retrouver avec ce livre ?

    Merci d'avance :-)
  • Merci Poirot.
    En faisant des recherches avec cette référence que je ne connaissais pas, je suis tombé sur cette ancienne discussion Marc Hindry.
    C'est clair, ce sera je pense mon prochain livre. Par contre je vais éviter de l'acheter ici Fnac:-D 559€!

    Al-Kashi
  • BYass a écrit:
    [...]apprendre la théorie analytique des nombres avec le Tenenbaum

    Non, cet ouvrage ne convient pas si l'on est débutant dans ce domaine. Pour débuter, je conseillerais plutôt le livre d'Apostol : https://www.amazon.fr/Introduction-Analytic-Number-Theory-Apostol/dp/0387901639/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1549657230&sr=8-1&keywords=tom+apostol

    et, en guise d'accompagnement, le livre de Murty : https://www.amazon.fr/Problems-Analytic-Number-Theory-Murty-ebook/dp/B000WDQMN4/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1549657280&sr=8-2&keywords=Problems+in+analytic+number+theory
  • @ Al-Kashi : La traduction française de An Introduction to the theory of numbers de Hardy et Wright devrait te convenir. Ce n'est pas un vieux livre, c'est un ouvrage classique qui a été ré-édité maintes fois au cours des 70 dernières années. La dernière édition de 2008 est ultra moderne.


    @BYass : Un ouvrage d'introduction a la theorie analytique des nombres est le Introduction to analytic number theory de Apostol chez Springer. Le niveau est L3-M1 et c'est bien plus compréhensible que l'ouvrage de Serre.
  • Serge_S : as-tu lu mon message précédent ? J'y parle du Apostol.

    Maintenant, la "bible" est celui-ci : https://www.amazon.fr/Multiplicative-Number-Theory-Classical-ebook/dp/B01LWYYB33/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1549660000&sr=8-3&keywords=montgomery+et+vaughan

    mais il faut, lui aussi, avoir un certain niveau.

    Encore un : https://www.amazon.fr/Analytic-Emmanuel-Kowalski-Iwaniec-2012-08-01/dp/B01K0TEFOC/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1549660043&sr=8-1&keywords=Iwaniec+et+Kowalski

    mais, là, il faut pratiquement être un chercheur dans le domaine pour bien en tirer profit.
  • Je confirme qu'il est difficile de débuter en théorie analytique des nombres avec le Tenenbaum, mais ça reste une bonne lecture pour voir l'étendue des choses que l'on peut traiter dans ce domaine. J'ai une préférence pour le Kowalski que j'ai cité plus haut (pas le Iwaniec-Kowalski qui est d'un niveau très très élevé). Le bouquin d'exercices de Murty suggéré par noix de totos est également très bien pour mettre les pieds dans le plat !

    @SERGE_S : j'ai déjà suggéré le Hardy et Wright dans mon premier message.
  • Merci à tous pour vos réponses :-)
  • Bonsoir.

    J'ai entendu du bien du livre de Pierre Colmez intitulé "éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)".
    Est-ce qu'il traite de la théorie analytique des nombres ?
  • En effet après avoir lu d'autres commentaires je commence à hésiter entre arithmétique de Marc Hindry et introduction à la théorie des nombres de H&W.

    Pour mettre fin à mes hésitations, pourriez me dire quels sont les avantages de l'un par rapport à l'autre ? Que fait l'un en plus ou en moins par rapport à l'autre ?

    En vous remerciant,

    Al-Kashi
  • J'ai eu la chance de travailler sur le livre de Marc Hindry, en particulier sur son chapitre de théorie analytique des nombres.

    Il est vrai qu'il y a ce chapitre, mais Marc H est surtout spécialisé en théorie algébrique des nombres, et c'est assurément le thème principal de son ouvrage. Toutefois, il utilise de manière importante les sommes de Gauss (et sommes reliées à elles), qui sont un outil à la fois algébrique et analytique en arithmétique.

    Il me paraît donc essentiel que tu cibles exactement ce que tu cherches et le niveau que tu veux atteindre :

    ou bien tu veux un ouvrage à "spectre large" de niveau disons M1, alors : Le Hardy & Wright, le livre de H. E. Rose "A course in Number Theory" (Oxford), sont des exemples que tu peux consulter ;

    ou bien tu veux un domaine bien particulier : dans ce cas-là, il faut bien délimiter ce domaine (même un champs comme "théorie analytique des nombres" est trop vaste par certains aspects), puis se donner un niveau souhaité.
  • @Sayxof : oui il y a de la théorie analytique des nombres, le dernier chapitre porte sur les séries de Dirichlet, puis le premier chapitre d'annexe porte sur le théorème des nombres premiers, mais je ne le recommande pas du tout pour découvrir ces sujets, la présentation laisse à désirer. Pour la culture il est très bien cependant, les différentes annexes abordent des thèmes que l'on ne voit pas souvent traités dans des bouquins accessibles en français (irrationalité de certaines valeurs aux entiers impairs de la fonction $\zeta$, problème des nombres congruents, programme de Langlands).
  • Il y a aussi les deux excellents pavés "Number Theory" chez Springer du maître Henri Cohen :

    Volume I : "Tools and Diophantine Equations" plus axé sur la théorie algébrique des nombres.
    Volume II : "Analytic and Modern Tools" qui, comme son nom l'indique, s'intéresse à la théorie analytique des nombres.
  • Ils ont le défaut d'être en anglais, contrairement à ce que demandait Al-Kashi :-D Et je trouve ces bouquins très biens quand on s'y connaît un petit peu, sinon ils risquent d'être "overwhelming" pour quelqu'un qui découvre !
  • Allez, je vais me commander le Hardy&Wright.
    Je l'ai trouvé à 60€ chez la Fnac, cela vous semble-t-il raisonnable comme prix ?
    Merci pour vos interventions.

    Al-Kashi
  • La traduction française de ce livre, effectuée par François Sauvageot et préfacée par Catherine Goldstein, existe également, ce qui est assez utile pour qui n'aime pas lire l'anglais : https://www.amazon.fr/Introduction-théorie-nombres-G-H-Hardy/dp/2711771687/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1549710654&sr=8-1&keywords=Catherine+Goldstein

    Le prix amazon est quasi identique à celui du Hardy.
  • @Poirot : Tu habites dans une bibliothèque ? ;-)
  • Le livre de Marc Hindry est génial ! Une belle palette de l'arithmétique y est présente en passant par la primalité, la théorie algébrique et analytique et même une introduction sur les courbes elliptiques !
  • @gai requin : parfois j'aimerais :-D
  • @soleil_vert : il ne s'agit pas du tout du même bouquin. Le Kowalski est un cours de niveau M1-M2. Le Iwaniec-Kowalski est un livre de référence pour chercheurs en théorie analytique des nombres.
  • Bonsoir

    Pour le Hardy and Wright (que j'ai acheté il y a peu après l'avoir longtemps consulté en PDF) et beaucoup d'autres livres, je pense qu'il vaut mieux les acheter d'occasion, pour deux fois moins cher et avec le plaisir d'une belle édition, qui tient ouvert tout seule et sent le vieux le papier.

    https://www.abebooks.fr/servlet/SearchResults?cm_sp=SearchFwi-_-SRP-_-Results&kn=hardy wright theory numbers&sortby=17
  • A oui les prix ne sont pas du tout les mêmes !
    Dommage que je sois une bille en anglais !

    Al-Kashi
  • Bonjour,

    Dans sa bibliographie, à la page 219 du livre d'Olivier, il parle du livre de J-M de Koninck & A.Mercier, 1001 problèmes en théorie classique des nombres. Sachant que je veux éviter les doublons, ce livre est-il un bon complément au livre de H&W.

    Al-Kashi
  • Le H&W est un livre de cours.
    Le J-M de Koninck & A.Mercier, 1001 problèmes en théorie classique des nombres est un livre d'exercices.

    Un bouquin que je trouve très chouette, il couvre des parties peu connues de la théorie des nombres et il a une couverture assez large (mais pas orienté théorie analytique, même s'il y a un chapitre sur les fonctions arithmétiques mais plutôt orienté: irrationalité/transcendance de nombres), théorie des nombres de Daniel Duverney.
    Il y a des résultats d'irrationalité (livre déjà cité par Poirot)


    On y trouve (démontrée), par exemple, cette égalité:

    \begin{align}\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+...}}}==\frac{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!(k+1)!}}{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k!)^2}}\end{align}


    Il y a des exercices à la fin de chaque chapitre. Parmi les exercices il y a aussi des résultats intéressants.
    (et il y a des corrections d'exercices)


    Il y a le très compact, grand classique, théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel.

    On trouve des livres anciens réédités chez Dover (en Anglais) qui traitent de théorie des nombres.
    La présentation est souvent datée mais ces livres sont peu chers.

    Il y a aussi le Ireland-Rosen (en Anglais):

    https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-2103-4

    Pour des références de livres (mais aussi notes de cours en ligne) consulter:
    http://www.numbertheory.org/ntw/number_theory.html

    (c'est un site orienté fortement monde anglo-saxon)
  • Bonjour Fdp

    Il n'y a donc aucun exercice dans le H&W ?
  • Je n'en ai pas l'impression.

    Les fins de chapitres dans la cinquième édition (en Anglais) sont consacrées à des références pas à des exercices si je lis bien. Mais je n'ai pas vérifié pour tous les chapitres. (dans mon souvenir il n'y en a pas mais je peux me tromper)
  • Il vient de sortir un nouvel ouvrage sur la théorie des nombres chez Ellipses : https://www.editions-ellipses.fr/accueil/13716-25260-lequation-aux-s-unites-voyage-geometrique-en-theorie-des-nombres-9782340056701.html#/1-format_disponible-broche ! Ce dernier semble être orienté "théorie algébrique" et semble s'inspirer du cours de M1 de Gaëtan Chenevier ! Je n'ai pas encore eu l'occasion de le feuilleter mais le contenu de la table des matières donne envie d'en savoir un peu plus. Bon après il faut voir comment est le contenu mathématiques à l'intérieur :-D ! Apparemment il est accessible dès le niveau L3 ...
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