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Récapitulatif approximation de fonctions

Bonsoir.

Quelqu'un aurait-il un fascicule de résultats portant sur la densité de telle classe de fonction par rapport à telle autre selon telle norme (par exemple, les fonctions continues sur un segment par les polynômes, les approximations continues, ou indéfiniment dérivables à support compact, ou encore les moyens d'approximation dans les espaces $L^{p}$...) ?

Je vous remercie par avance.

Réponses

  • Bonjour,

    Je n'ai pas de livre ou de fascicule à te conseiller mais il y a quelques temps de cela, Calli avait ouvert un fil dans lequel il/elle a dressé un schéma représentant les différentes espaces de fonctions et de distributions classiques, avec les relations d'inclusion et de densité correspondantes.

    Tu devrais pouvoir le retrouver en fouillant dans ses messages.
  • Quelques résultats en vrac :

    - Théorème de Stone-Weierstrass : Toute sous-algèbre unitaire séparante de $\mathcal C(X, \mathbb R)$, et toute sous-algèbre unitaire séparante de $\mathcal C(X, \mathbb C)$ stable par conjugaison complexe, avec $X$ compact, y est dense. Application : les polynômes dans $\mathcal C([a, b], \mathbb R)$, les polynômes trigonométriques dans $\mathcal C(\mathbb T, \mathbb C)$, et plus généralement si $G$ est un groupe abélien localement compact alors l'image de la transformée de Fourier sur $L^1(G)$ est dense dans $\mathcal C(\hat G, \mathbb C)$.

    - Si $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré, les fonctions étagées sont denses dans $L^p(E)$ pour $1 \leq p \leq +\infty$.

    - Si $\Omega$ est un ouvert non vide de $\mathbb R^n$ et $1 \leq p < +\infty$, les fonctions continues à supports compacts dans $\Omega$ sont denses dans $L^p(\Omega)$. Ça vient de la régularité de la mesure de Lebesgue. En particulier, $L^p(\Omega) \cap L^q(\Omega)$ est dense dans $L^p(\Omega)$, l'espace de Schwartz est dense dans $L^p(\mathbb R^n)$.

    - Si $\Omega$ est un ouvert non vide de $\mathbb R^n$ et $1 \leq p <+\infty$, les fonctions $\mathcal C^{\infty}$ à supports compacts dans $\Omega$ sont denses dans $L^p(\Omega)$. Ça s'obtient par convolution avec une approximation de l'unité, et le résultat précédent est utilisé dans la preuve (voir Brézis par exemple).

    - Théorème de Mergelyan : Soit $K$ un compact d'intérieur non vide de $\mathbb C$ tel que $\mathbb C \setminus K$ est connexe. Alors les fonctions polynomiales sont denses dans $\mathcal H(K)$ (fonctions continues sur $K$, holomorphes sur l'intérieur de $K$, munies de la topologie de la convergence uniforme sur $K$).
  • Bonjour,

    Tiens ! On m'a posé le dernier à l'oral de l'agreg, dans le cas particulier du disque unité. J'ai oublié ce que j'ai répondu.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci d'avoir pris le temps pour ça Poirot !

    Il me semblait que le fil de Calli établissait des correspondances entre les différents modes de convergence en théorie des probabilités mais je vais vérifier ça.
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