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Matrices

etancheetanche
dans Algèbre
Bonjour

$A,B,C \in M(2;\R)$ telles que $AB=BA,\ AC=CA,\ BC=CB$. Si de plus au moins une des matrices $A-B,\ B-C,\ C-A$ est inversible,
montrer que $A^2+B^2+C^2 -AB-BC-CA\ $ ne peut être de rang $1$.

Merci.

Réponses

  • AlainLyonAlainLyon
    $A,B,C$ commutent ce qui permet de calculer facilement des expressions comme $(A+B+C)^2$....
  • etancheetanche
    @AlainLyon $A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC$
  • etancheetanche
    Tiens $\frac{1}{2}((A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2)$ c’est exactement l’identité de l’énoncé.
  • JLapinJLapin
    Tu peux te ramener à montrer que $rg(I_2+X+X^2)\neq 1$ pour tout $X\in M_2(\R)$.
  • etancheetanche
    @JLapin le résultat que tu proposes de démontrer est aussi un joli exercice sur le rang indépendamment de l’exercice que
    j’ai posté.
  • jandrijandri
    Le résultat de JLapin se généralise : pour $A\in M_n(\R)$ et $P\in\R[X]$ ne possédant pas de racine réelle le rang de $P(A)$ a la parité de $n$.

    La démonstration (une fois trouvée) est très simple en utilisant un déterminant.
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