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Le sous-groupe des carrés ?

Bonjour

Dans un groupe non abélien G le sous-ensemble des carrés est stable pour le passage à l'inverse et contient l'élément neutre de G mais est-il nécessairement stable pour le produit (en d'autre terme est-il un sous-groupe de G) ? Je pense que non mais les petits groupes non abéliens que j'ai testés ne m'ont pas fourni de contre-exemple.

Merci pour vos contributions.:-)

Réponses

  • Apparemment, il y a 270 carrés dans $\mathfrak{S}_6$. Vérification...
    sage: G = SymmetricGroup(6)
    sage: C = G.conjugacy_classes()
    sage: K = set([g^2 for g in G])
    sage: [(c.an_element(), len(c)) for c in C if c.an_element() in K]
    [((), 1),
     ((1,2)(3,4), 45),
     ((1,2,3), 40),
     ((1,2,3)(4,5,6), 40),
     ((1,2,3,4,5), 144)]
    sage: add([len(c) for c in C if c.an_element() in K])
    270
    
  • @ Poirot: merci pour cette information mais pourrais-tu s'il te plaît être plus explicite sur ta manière de les dénombrer ?

    En parallèle je suis tombé sur cet exercice (aisé) établissant que lorsque G est d'ordre impair alors la fonction carrée est une bijection de G dans G - et dans ce cas les carrés forment effectivement un sous groupe de G.
  • Bonjour Ludo'
    Le premier exemple de groupe non commutatif (fini) pour lequel l'ensemble des carrés n'est pas un sous-groupe est $\mathfrak A_4$.
    En effet chaque élément d'ordre 3 est le carré de son inverse, mais les éléments d'ordre 3 engendrent $\mathfrak A_4$ tout entier, qui contient des éléments d'ordre 2 (ceux-ci ne pourraient être que le carré d'un élément d'ordre 4 qui n'existe pas dans $\mathfrak A_4$).
    Alain
  • Merci Alain pour cet exemple .:-)

    @Poirot: ta capture d'écran ne s'est pas initialement affichée sur le mien, mais je me doutais que ta réponse fulgurante devait résulter d'une assistance informatique.
  • Heu ... à la réflexion et sauf erreur grossière de ma part,les carrés des éléments de $ \mathfrak A_4$ forment en l'état le groupe cyclique engendré par (123) non ?:-S
  • Ben non, il y a aussi (1 2 4).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Grosse boulette: j'ai confondu avec $\mathfrak A_3$ ...
  • Pourquoi suis-je mentionné à deux reprises ? :-S Rendons à Math Coss ce qui est à Math Coss !
  • C'est ça, la gloire !
  • L'ensemble des carrés est stable par conjugaison. Sage a fait la liste $K$ des carrés (j'aurais pu afficher simplement "len(K)" pour trouver 270...) et la liste $C$ des classes de conjugaison. Pour chaque classe $c$ de $C$, Sage prend un élément $g$ et teste s'il est dans $K$ ; il affiche le couple $(g,|c|)$ si c'est le cas. La dernière ligne calcule la somme des cardinaux des classes d'équivalences.

    J'aurais pu faire mieux. On part de la liste $C$ des classes de conjugaison. Pour $c$ dans $C$, on choisit un élément $g$ de $C$, on calcule son carré, puis la classe $c2$ d'équivalence de $g^2$, on détermine l'indice de $c2$ dans la liste $C$ et on élimine les doublons : les indices forment l'ensemble $K$ (comme « carrés »). Il n'y a plus qu'à ajouter les cardinaux des classes de conjugaison d'indice $k$ dans $K$
    sage: G = SymmetricGroup(6)
    sage: C = G.conjugacy_classes()
    sage: K = set([C.index((c.an_element()^2).conjugacy_class()) for c in C])
    sage: add(len(C[c]) for c in K)
    270
    
    Edit : même calcul avec $\mathfrak{A}_4$.
    sage: G = AlternatingGroup(4)
    sage: C = G.conjugacy_classes()
    sage: K = set([C.index((c.an_element()^2).conjugacy_class()) for c in C])
    sage: add(len(C[c]) for c in K)
    9
    
  • @Math Coss : merci pour ce complément d'informations
    @AD: merci pour l'exemple
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