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Changement de variable intégrale

Bonsoir,

Comment trouver le changement de variable ?126882

Réponses

  • Quand on sait calculer (niveau terminale S-L1, on repère tout de suite le cos(u) du qio donne un changement de variable agréable.
  • Je ne suis pas particulièrement doué en calcul intégral, mais as-tu au moins essayé $x=\cos u$ ?
  • Règles de Bioche, sin(u)
  • OS:
    Tu ne sais pas quel changement de variable faire face à une intégrale comme $\displaystyle \int_a^b f^\prime(x)g(f(x))dx$?
  • Homo Topi: Mauvaise idée à mon humble avis.
  • Ce n'est pas une fraction rationnelle en $\cos(\theta)$ mais as-tu au moins essayé les règles de Bioche ?
    Faut arrêter de venir nous demander de te dire d'appliquer du cours, c'est vraiment se moquer du monde. Y'a 0 difficulté, on applique des recettes de cuisine et après on déroule du calcul de primitives de Terminal (en identifiant des formes de dérivées usuelles du formulaire...).

    Pour rappel, par le cours, tu dois savoir primitiver :
    - des fractions rationnelles (éventuellement après décomposition en éléments simples)
    - des fractions rationnelles en cos, sin, tan
    - des racines nième de fonctions homographiques
    - des inverses de fonctions affines (y compris à valeurs complexes) et inverses de polynômes du second degré
    - des racines carrées et inverses de racines carrées de polynômes de degré 2
    - tout ce qui s'apparente à une forme composée $f'(x)g'(f(x))$, ce qu'un changement de variable permet souvent de mettre en évidence
    - certaines formes produit $fg$ par IPP du moment que $\int f \times g'$ se primitive bien, typiquement tout ce qui est polynôme (que l'on va dériver plusieurs fois) fois un truc qui se primitive bien mais après plusieurs fois (donc toutes les fonctions "stables" ie cos, sin, exp)...

    Bref, il y a très peu de types différents de fonctions qu'on peut facilement primitiver et une fois qu'on a fait un exo pour chacun des cas mentionnés ci-dessus (ce qu'on fait en début de sup/L1), c'est plié et on peut passer à autre chose. Le reste, ce n'est que du calcul sans intelligence.
    Si en lisant ma petite fiche récap, tu découvres des choses, c'est que tu ne connais pas ton cours. Si tu n'as jamais pensé à faire une telle fiche, c'est que tu ne sais pas apprendre/résumer les choses importantes d'un cours. Si tu n'as aucun bouquin parmi tes bouquins qui te fait un petit résumé de la sorte, c'est aussi à mon avis un manque de pédagogie du bouquin mais passe encore.
  • Ce n'est pas une fraction rationnelle, mais je pense que Fin de Partie a donné l'idée. Idem pour Alexique avec le $f'(x) g(f(x))$

    On pose $t=f(x)$

    Noobey la règle de Bioche ne s'applique pas non ? Il y a la racine carrée. Sur internet ils disent que les numérateurs et dénominateurs doivent être des polynômes en cos et sin.

    Je pense qu'on peut écrire $\cos^2(u)=1-\sin^2(u)$ puis appliquer la formule du cours sur le changement de variable.
  • OS:
    Je pense que tu es sur la bonne voie.
    Cette intégrale est plus facile que la précédente. Peu de lignes de calcul même en détaillant.
  • Alexique a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2304902,2304924#msg-2304924 Si tu n'as aucun bouquin parmi tes bouquins qui te fait un petit résumé de la sorte, c'est aussi à mon avis un manque de pédagogie du bouquin mais passe encore.

    Ou alors c'est que les bouquins en question respectent un programme national.
  • Bonjour,

    $\cos u du=d \sin u$ et le dénominateur est fonction de $\sin u.$
  • Bonsoir

    tu commences par le changement de variable d'intégration soit a = sinu, il vient :

    $I = \int_{-1}^{+1}\frac{da}{\sqrt{4-3a^2}}$

    tu connais une primitive de $\frac{1}{\sqrt{m² - x²}}$ avec - m < x < m

    soit $k + Arcsin\frac{x}{m}$ avec k constante d'intégration

    ici cela donne $k + \frac{1}{\sqrt{3}}Arcsin\frac{x\sqrt{3}}{2}$ à calculer entre - 1 et +1

    soit $$I = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$

    Cordialement
  • JLapin a écrit:
    Ou alors c'est que les bouquins en question respectent un programme national.

    Oui mais donc pour quelqu'un comme OS qui vise l'agreg et qui n'est plus en prépa, cela n'a pas lieu d'être. Dire "je refuse de savoir calculer une intégrale trigo parce que c'est pas dans mon programme" alors que ça s'inscrit parfaitement dans un cours de calcul intégral de sup/L1, c'est se montrer très étroit d'esprit. Par ailleurs, il a, j'en suis sûr des bouquins qui expliquent cela tellement il en a. Enfin, de mon temps (moins de 10 ans), c'était bien au programme de sup. Je suppose que ce n'est plus le cas vu que la décroissance secondaire dérive jusque dans le supérieur dorénavant. Quelqu'un qui n'a pas ce petit mémo en attaquant un concours autre que CCP part quand même d'un moins bon pied que celui qui sait. Mais bon, c'est l'éternel débat du "hors programme"...
  • Je suis d'accord avec toi mais on sait bien que OS n'a qu'un seul bouquin et que celui-ci respecte les programmes.
    Le problème vient surtout de son manque de lucidité je pense...
  • @Jean Lismonde

    Dommage de donner la solution, je viens ici pour apprendre et calculer par moi-même.

    Une solution toute faite ne me fera jamais progresser.

    Voici ma solution :

    La fonction intégrée étant paire, on a $I=2 \displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \dfrac{ \cos u}{\sqrt{1+3 \cos^2(u)}} du$

    Comme $\cos^2(u)+\sin^2(u)=1$, il vient $I=2 \displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \dfrac{ \cos u}{\sqrt{4-3 \sin^2(u)}} du$

    Posons le changement de variable $t=\sin(u)$ de sorte que $dt=\cos(u) du$

    Ainsi $I=2 \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{4-3t^2}} dt= \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{3 t^2}{4}}} dt $

    Effectuons le changement de variable $v=\dfrac{ \sqrt{3}}{2}t$ donc $dt=\dfrac{2}{ \sqrt{3}} dv$

    Ainsi $I=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3} /2 } \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}} dv$

    Donc $I=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \arcsin ( \dfrac{ \sqrt{3}}{2} )$

    Finalement $\boxed{I=\dfrac{2 \pi }{ 3 \sqrt{3}}}$
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