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Calcul de $\tan 16 x$

Bonjour sachant que $ \tan x = 2 $ calculer $ \tan 16x$. Moi, au moyen d'une formule que j'ai trouvée, j'obtiens $ \frac{-354144}{164833} $, puis-je savoir comment vous procéderiez ?
Bien sûr si quelqu'un le demande je posterai ma formule (qui est un peu longue).
a+
Fibonacci

Réponses

  • Je calculerais tan(2x) puis tan(4x) puis tan(8x) puis tan(16x)
  • Bonjour
    Je passerais à l'exponentielle.

    $\sin(x)=2 \cos(x)$ donne $z=\exp(i x)=\pm \frac{1+2 i}{\sqrt{5}}$.

    Puis $\tan(16x)=- i(z^{16} -1/z^{16})/(z^{16}+1/z^{16})$.

    Il reste à calculer $z^2, z^4,z^8, z^{16} $ (en élevant au carré à chaque fois).
  • Le résultat est ok :
    sage: f = lambda x : 2*x / (1-x^2)                                              
    sage: x = 2                                                                    
    sage: for k in range(4): 
    ....:     x = f(x)                                                                     
    sage: x
    -354144/164833
    
    Ps / C'est la démarche de JLapin
  • Bonjour, je joins la formule que j'ai trouvée. Je m'excuse si je ne l'écris pas en Latex mais cela me prendrait trop de temps (je dois pratiquer cette belle façon d'écrire des formules).
    Bien que la formule soit de peu d'utilité, j'ai été heureux de voir qu'elle était juste.
    Merci à tous pour votre aimable coopération..
    a+
    Fibonacci126872
  • Si tu aimes bien les formules alors

    $tan( 16 x)= -\dfrac{16 t \left(-1+35 t^2-273 t^4+715 t^6-715 t^8+273 t^{10}-35 t^{12}+t^{14}\right)}{1-120 t^2+1820 t^4-8008 t^6+12870 t^8-8008 t^{10}+1820 t^{12}-120 t^{14}+t^{16}}$

    avec $t=tan(x)=2. $

    Sauf qu'il est préférable de savoir d'où elles viennent et ne pas dire qu'elle ne sont pas utiles (car elles servent toujours à un moment où un autre).
  • On peut factoriser : \[\tan 16x=-\frac{16 \, {\left(t^{4} + 4 \, t^{3} - 6 \, t^{2} - 4 \, t + 1\right)} {\left(t^{4} - 4 \, t^{3} - 6 \, t^{2} + 4 \, t + 1\right)} {\left(t^{2} + 2 \, t - 1\right)} {\left(t^{2} - 2 \, t - 1\right)} {\left(t + 1\right)} {\left(t - 1\right)} t}{{\left(t^{8} + 8 \, t^{7} - 28 \, t^{6} - 56 \, t^{5} + 70 \, t^{4} + 56 \, t^{3} - 28 \, t^{2} - 8 \, t + 1\right)} {\left(t^{8} - 8 \, t^{7} - 28 \, t^{6} + 56 \, t^{5} + 70 \, t^{4} - 56 \, t^{3} - 28 \, t^{2} + 8 \, t + 1\right)}}.\]
  • Bonjour,

    Sauf que c'est plus long à écrire, donc plus compliqué, et chez moi, ça ne rentre pas dans la ligne, une partie n'est pas visible.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Oui, un intérêt c'est de faire apparaître des facteurs simples comme $t$, $t\pm1$, $t^2\pm2t-1$ ou d'expliciter le polynôme minimal de $\tan\frac{\pi}{16}=-\sqrt{2} + \sqrt{2 \, \sqrt{2} + 4} - 1$, et de stimuler la réflexion pour l'interprétation des facteurs du dénominateurs.
  • Fibonacci : Je ne peux pas vérifier ta seconde formule, je ne peux pas faire de factorisation partielle et pas envie de recopier ta formule.
    sage: k.<a,b> = ZZ[]                                                            
    sage: x0 = a/b                                                                  
    sage: sage: for k in range(4):  
    ....: ....:     x0 = f(x0)  
    ....: ....:           
    ....:                                                                           
    sage: x0                                                                        
    (-16*a^15*b + 560*a^13*b^3 - 4368*a^11*b^5 + 11440*a^9*b^7 - 11440*a^7*b^9 + 4368*a^5*b^11 - 560*a^3*b^13 + 16*a*b^15)/(a^16 - 120*a^14*b^2 + 1820*a^12*b^4 - 8008*a^10*b^6 + 12870*a^8*b^8 - 8008*a^6*b^10 + 1820*a^4*b^12 - 120*a^2*b^14 + b^16)
    sage: factor(x0)                                                                
    (-1) * 2^4 b  a  (a - b)  (a + b)  (a^2 - 2ab - b^2)  (a^2 + 2ab - b^2) (a^4 - 4a^3b - 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4) (a^4 + 4a^3*b - 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4) (a^8 - 8*a^7*b - 28*a^6*b^2 + 56*a^5*b^3 + 70*a^4*b^4 - 56*a^3*b^5 - 28*a^2*b^6 + 8ab^7 + b^8) (a^8 + 8*a^7*b - 28*a^6*b^2 - 56*a^5*b^3 + 70*a^4*b^4 + 56*a^3*b^5 - 28*a^2*b^6 - 8*a*b^7 + b^8)^-1
    
    $$
    \frac{-16 a^{15} b + 560 a^{13} b^{3} - 4368 a^{11} b^{5} + 11440 a^{9} b^{7} - 11440 a^{7} b^{9} + 4368 a^{5} b^{11} - 560 a^{3} b^{13} + 16 a b^{15}}{a^{16} - 120 a^{14} b^{2} + 1820 a^{12} b^{4} - 8008 a^{10} b^{6} + 12870 a^{8} b^{8} - 8008 a^{6} b^{10} + 1820 a^{4} b^{12} - 120 a^{2} b^{14} + b^{16}}
    $$
  • C’est quoi, f ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Pour $f$, pareil que mon message au dessus i.e $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$
  • Voilà comment je ferais:
    L=lindep([tan(16*atan(2)),1]);
    print(-L[2]/L[1]);
    -354144/164833
    

    Pour tester.

    PS:
    Explication: la fonction lindep cherche deux entiers $a$ et $b$ tels que $a\tan\left(16\arctan(2)\right)+b$ soit le plus proche possible de $0$. La nature de la constante $\tan\left(16\arctan(2)\right)$ n'a aucune importance dans le processus puisque c'est une approximation décimale qui est considérée.

    PS2:
    fonction très utile quand on cherche le polynôme minimal d'un nombre algébrique.
    ? a=sqrt(2)+sqrt(3);
    print(lindep([1,a,a^2]));
    print(lindep([1,a,a^2,a^3]));
    print(lindep([1,a,a^2,a^3,a^4]));
    [-22727462, -7258901, 4603089]~
    [103026, 336374, 360541, -151882]~
    [1, 0, -10, 0, 1]~
    

    On aurait pu utiliser plus simplement la fonction algdep: algdep(a,4);
  • On peut ajouter une question intermédiaire pour trouver la réponse : exprimer $\tan(nx)$ en fonction de $\tan(x)$

    Spoiler (sélectionnez les lignes en dessous pour faire apparaître la formule) :

    $\tan(nx)=\dfrac{Im(1+i\tan(x))^n}{Re(1+i\tan(x))^n}$

    P.S. hors sujet : est-ce qu'il y a une vraie balise spoiler plutôt que l'astuce du texte en blanc ?
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