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Inéquation différentielle

Bonjour. SVP je cherche une indication ou une réponse pour cette question :
Soit $\epsilon > 0 $ fixé.
Déterminer toutes les fonctions $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $| v^{\prime} | \leq \epsilon\, e^{-t} ,$ pour tout $ t \in \mathbb{R}$.
Merci bien.

Réponses

  • Je ne pense pas qu'on trouve mieux que
    "les fonctions dérivables dont la dérivée vérifie l'inégalité souhaitée"
    mais je ne demande qu'à être éclairé !
    Par curiosité, d'où vient cette question ?
  • Merci bien pour l'aide, je cherche en fait la réponse à cette question : déterminer les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant :
    $| v^{\prime}(t) -v(t) | \leq \epsilon $. merci pour l'aide.
  • Idem : je pense que tu n'auras pas mieux que la propriété elle-même ou la reformulation que tu as obtenue grâce à ta fonction auxiliaire.
    Par curiosité, d'où vient cette question ?
  • Bonjour,

    On part de $\displaystyle |v'(t)-v(t) | \leq \varepsilon $.

    Des fonctions de la forme $A + B \cos t$ conviennent avec $A, B$ suffisamment petits, ici $|A| + \sqrt{2} |B| \leq \varepsilon$,

    et on peut trouver d'autres formes $A(t) + B(t) \cos t$ pourvu que $A, B$ soient bornées,

    et on peut même ajouter des fréquences...

    Bref, on ne peut rien dire de bien spécifiques sur les fonctions $v.$
  • Egalement des fonctions autour de la fonction exponentielle

    Trouver des fonctions qu'on va savoir exprimer avec une formule simple, et qui conviennent, ce n'est pas gagné.
    Mais ce n'est pas parce que ces fonctions sont impossibles à exprimer de façon simple qu'elles n'existent pas.
  • C'est même certain pour la première. On part d'une fonction plus ou moins quelconque, disons continue, du moment qu'elle est bornée par $\epsilon$ qu'on peut toujours écrire sous la forme $f(t)e^{t}$, on décide que $f$ à pour primitive quelqu'un qu'on appelle $v$, et on voit qu'en gros toute fonction bornée convient à une petite division près.
  • Merci bien pour tous vos réponses.
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