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Calcul intégral

Bonsoir,

Je ne comprends pas l'indication, je n'ai pas étudié ça. Je rappelle que ce sont des exercices dont je ne dispose pas de la solution, qui est payante. Il y a parfois des indications.

J'ai juste écrit $\cos (\theta) \cos t= \dfrac{ \cos (\theta +t)+ \cos (\theta -t) }{2}$126846

Réponses

  • On s'en fiche de $\cos\theta$ tu peux le remplacer par un paramètre $a$. Il faut seulement faire attention à ce que le dénominateur ne s'annule pas* et j'imagine que c'est la raison pour laquelle on te donne un intervalle semi-ouvert concernant $\theta$.
    Ici, probablement le changement de variable $y=\tan\left(\frac{t}{2}\right)$ va fonctionner.

    *: la phrase est mal formulée. Si le dénominateur s'annule pour $t\in [0,\frac{\pi}{2}[$ et $\theta\in [0;\pi[$ il y aura besoin d'un traitement supplémentaire pour savoir si l'intégrale est convergente pour ce $\theta$.
    Mais dans le cas d'espèce la condition sur $\theta$ me semble garantir que le dénominateur ne s'annule pas quand $t$ varie dans $ [0,\frac{\pi}{2}[$.
    Dans l'expression $\frac{1}{\sqrt{x}}$ le dénominateur s'annule en $0$ mais l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ est convergente.
  • D'accord merci j'essaie de finir seul.
  • C'est surtout du cours (Règle de Bioche). Et si tu me sors "c'est pas dans mon livre" ou "c'est pas/plus au programme", ma réponse sera "zut".
  • Je ne sais pas si elles sont encore communément enseignées en prépa/L1-L2. J'ai découvert leur existence en préparant l'agreg, en tout cas.
  • Je ne comprends pourquoi ils notent cet exercice comme facile, je le trouve plus compliqué que l'autre qui était noté très difficile.

    Posons $y= \tan(\dfrac{t}{2})$ pour $t \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$ et $f(x)=\dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \cos (t)}$

    On a $\cos (t)=\dfrac{1-y^2}{1+y^2}$

    Comme $t/2 \in [0, \pi/4]$, on a $\arctan y= \arctan \tan (t/2)=t/2$ donc $\boxed{t=2 \arctan y = \varphi(y)}$

    L'application $\varphi : y \mapsto 2 \arctan y$ est une bijection de classe $C^1$ de $[0,1]$ dans $[0,\pi/2]$.

    Or $\varphi^{-1} (0)=0$ et $\varphi^{-1} (\pi /2)=1$

    On a $f \circ \varphi (y)= \dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \dfrac{1-y^2}{1+y^2}}$ et $\varphi '(y)=2 \dfrac{1}{1+y^2}$

    Ainsi, $I(\theta)=\displaystyle\int_{0}^1 f \circ \varphi (y) \varphi '(y) dy=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos ( \theta) \dfrac{1-y^2}{1+y^2}} \times 2 \dfrac{1}{1+y^2}$

    D'où $I(\theta)= 2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+\cos(\theta)+y^2 (1-\cos (\theta)} dy$

    Soit $I(\theta)=\dfrac{2}{1+\cos(\theta)} \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} y^2} dy$

    J'ai l'impression que c'est trop compliqué :-S
  • D'après la règle de Bioche que je viens de revoir sur le net, il faut poser $x= \cos(t)$.

    Le changement de variable de Fin de Partie donne des choses trop compliquées.
  • Si on pose $x= \cos (t)$ on a $dx = - \sin (t) dt$

    Donc $I=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)x} \dfrac{dx}{\sin( t)}$

    Je bloque aussi.
  • Forcément, si tu ne remplaces pas le $\sin(t)$ par son expression en fonction de $x$...
  • La règle de Bioche dit plutôt qu'il faut poser $x=\sin t$ si je ne m'abuse
  • OShine écrivait:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2304328,2304476#msg-2304476

    C'est presque fini en fait...
    Et c'est effectivement le bon changement de variable, l'intégrande (y compris le dt) n'étant invariant ni par $t\mapsto -t$ ni par $t\mapsto \pi-t$ ni par $t\mapsto \pi+t$
  • OS:
    C'est trop compliqué pour toi car probablement tu n'arrives plus à discerner la variable d'intégration du paramètre.
    Tu pouvais poser $u=\cos\theta$ dès le début.
  • OShine a écrit:
    Je ne comprends pas l'indication, je n'ai pas étudié ça.
    ...
    Je ne comprends pourquoi ils notent cet exercice comme facile, je le trouve plus compliqué que l'autre
  • Il fut une époque où tu avais déclaré que le calcul était ton point fort !
    Ici tu as une intégrale d'une fraction rationnelle de la forme
    $$\int \dfrac{1}{1+\omega y^2} dy .

    $$ Où est la difficulté ?
  • @Bd2017
    Aucun problème mais le changement de variable avec la tangente donne un calcul trop long.

    $I=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)x} \dfrac{dx}{\sin( t)}$

    Or $\forall t \in [0,\pi/2]$, on a $\sin(t)= \sqrt{1-x^2}$

    Donc $I=\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)x} \dfrac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}$

    Je reste bloqué :-S
  • Les règles de Bioche ne s'appliquent pas ici je pense, il faut partir vers t = tan(x/2) comme prévu
  • Tu as toi-même écrit que $I(\theta) = \dfrac{2}{1+\cos \theta} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+ \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}y^2}dy$.

    On peut voir assez facilement que $\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ parcourt tout $[0~;~\infty[$ quand $\theta$ parcourt $[0~;~\pi[$, donc comme ça a déjà été dit, il va falloir regarder si ça pose problème quelque part. En attendant, il est judicieux de poser $\omega := \dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ pour le moment. On a alors $\omega \geqslant 0$.

    Il suffit donc de calculer $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+ \omega y^2}dy$.

    On pense immédiatement à l'arctangente.

    Si $f(x) = \arctan(ax)$, alors $f'(x)=\dfrac{a}{1+(ax)^2}$ donc on reconnait que $F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\omega}}\arctan(x\sqrt{\omega})$ est une primitive de l'intégrande.

    Comme ça a déjà été dit, tu étais presque au bout.
  • OShine écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2304328,2304688#msg-2304688


    Oui, ton calcul est plus court mais n'aboutit pas...
    D'ailleurs, que trouves-tu de compliqué dans le changement de variable $y=\tan(t/2)$ ?
    Le fait qu'il y ait des fractions de fractions à simplifier ?
  • Bonjour,

    Pour calculer une primitive de $x\mapsto {1\over 1+a \cos x}$, on utilise le demi-angle : $\cos x=2\cos^2{x\over 2}-1$, puis on divise numérateur et dénominateur par $\cos^2{x\over 2}$, puis au numérateur on reconnaît la dérivée de la fonction $x\mapsto \tan{x\over 2}$ à un facteur près et au dénominateur, l’identité ${1\over \cos^2 u}=1+\tan^2 u$ donne une forme $A+B \tan^2 {x\over 2}$.

    Selon les signes de $A,B$ on a donc, après mise en facteur de $A$, une forme en $1+…$ ou $1-…$ qui s’intègre immédiatement en $\arctan $ ou argth.

    Il suffit de la faire une fois pour le retrouver facilement.

    Pour cette intégrale, je trouve $I(\theta)={\theta\over \sin \theta}.$
  • Ok merci je reprends. Je retrouve le même résultat que Yves. Je ne comprends pas comment on peut noter cet exercice une étoile de difficulté sur 5, alors qu'il est très technique et très calculatoire.

    Posons $x=\tan(\dfrac{t}{2})$. Alors $t=2 \arctan(x)$ et $dt= \dfrac{2}{1+x^2} dx$

    On utilise la formule $\cos(t)=\dfrac{1-\tan^2(t/2)}{1+\tan^2(t/2)}$

    Ainsi $I(\theta)=2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+ \cos(\theta)\frac{1-x^2}{1+x^2}} \dfrac{1}{1+x^2} dx$

    Donc $$I(\theta)=2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1+x^2 +\cos(\theta) (1-x^2) } dx \\ = 2 \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{(1-\cos(\theta) ) x^2 +1+\cos(\theta)} dx \\ =\dfrac{2}{1- \cos(\theta)} \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x^2+ \dfrac{1+ \cos (\theta)}{1- \cos(\theta)} } dx$$

    Une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^2 +a^2}$ est la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{a} \arctan(\dfrac{x}{a})$. Ce qui donne :

    $I(\theta)=\dfrac{2}{1- \cos(\theta)} \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \arctan \left( \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \right)$

    D'où $I(\theta)=\dfrac{2}{ \sqrt{ (1- \cos(\theta))(1+ \cos(\theta) )} } \arctan \left( \sqrt{ \dfrac{1- \cos(\theta)}{1+ \cos(\theta)} } \right)$

    Mais $\cos(2 a)= 2 \cos^2(a)- 1 = 1- 2 \sin^2(a)$

    Ainsi, $I(\theta)=\dfrac{2}{ \sin(\theta)} \arctan ( \tan (\theta /2 ))$

    Finalement $\boxed{I(\theta)=\dfrac{ \theta}{ \sin( \theta)}}$
  • OShine:
    Les étoiles correspondent probablement à un niveau de réflexion.
    Tu vois bien qu'ici on n'a pas besoin de faire de subtilité dans le choix du changement de variable et le reste n'est que du calcul "bête et méchant".
  • Ok j'essaierai de me souvenir de ce changement de variable.
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