Limite de la somme des $f(k/n^2)$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Limite de la somme des $f(k/n^2)$

Salut à tous
Je cherche à calculer $\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n^2}\Big)$ sachant que $f$ est dérivable en $[0, + \infty[$ avec $f(0) = 0$.

J'ai pensé à une somme de Riemann en utilisant la subdivision : $\sigma := (a = x_0 = 0, x_1,\ldots, x_n = b = \frac{1}{n})$ puisque $\forall k, \frac{k}{n^2} \in [\frac{1}{n^2}, \frac{1}{n}]$ ce qui donnerait :
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n^2}\Big) = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\Big(a + k \frac{b-a}{n}\Big) = \int_{t = 0}^{\frac{1}{n}} f(t)dt.

\] Mais un doute m'assaille (variable qu'on fait tendre vers $\infty$ en borne de l'intégrale ?), et je ne suis pas sûr d'avoir utilisé toutes les données de l'énoncé. Peut-être faut-il passer par un autre théorème ?

Réponses

  • Bonjour
    vite fait tu as $f(k/n^2)\approx (k/n^2) f'(0)$

    Si tu sommes $(k/n^2) f'(0)$ et que tu passas à la limite tu trouves $1/2 f'(0)$.

    Il reste à faire cela proprement .
  • ah tiens oui les DL je n'y songeais pas
  • Il te faudra utiliser les epsilons pour ta preuve.
  • Le problème c'est qu'il faudra maitriser le terme complémentaire et je pense qu'il faudra

    un peu plus que simplement dérivable.
  • Non, ça passe.
    Utiliser la définition de la dérivabilité en 0 avec $\epsilon>0$ fixé puis prendre $n$ assez grand pour que tous les $k/n^2$ soient assez proche de 0 pour que ...
    Il reste à sommer les inégalités obtenues.
  • Oui, ok. ça marche.
  • Si on suppose $f$ de classe $C^1$, on peut éviter le recours aux $\epsilon$ en écrivant la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 pour chaque terme de la somme puis en majorant globalement les intégrandes par $\|f'-f'(0)\|_{\infty,[0,\frac{1}{n}]}$.

    Cet exercice a été donné à l'oral de Polytechnique pour les PC en 2018.
  • Et si $f$ est de classe $C^2$, l'inégalité de Taylor-Lagrange permet de conclure en trois lignes avec un contrôle de l'erreur commise en $O(1/n)$.
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