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Ordre de grandeur

Bonjour,
Je réfléchis à une activité sur les ordres de grandeur pour l'enseignement scientifique en première.
Ce qui me dérange c'est que l'on dit d'une part que l'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre; et d'autre part que si un nombre écrit en écriture scientifique $a\times 10^n$ est tel que a>5 alors son ordre de grandeur est $10^{n+1}$. Or il me semble que le milieu entre $10^n$ et $10^{n+1}$ est $5,5\times 10^{n}$. Donc $5,3\times 10^n$ est plus proche de $10^n$ que de $10^{n+1}$.
Dîtes moi si je me trompe.
Merci.
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Réponses

  • Je n'ai jamais vraiment compris au moment de l'apprendre, mais maintenant je dirais (je ne sais pas si c'est vrai), que si $x=10^\nu$, l'ordre de grandeur de $x$ est $10^n$, où $n$ est l'entier le plus proche de $\nu$ (en d'autres termes, regarder $\log_{10} x$). Ambiguité si $\log_{10}x$ est proche d'un demi-entier (non entier), c'est-à-dire quand ton $a$ est proche de $\sqrt{10}\simeq 3.2$, pas $5$ ou $5.5$.
    Après je bloque.
  • Les 2 nombres 3.2 et 5.5 ont leur justification.
    Personnellement, je préfère 3.2
    Mais dans les faits, pour des élèves de première, je dirais que le seuil, c'est 5.

    Et si je leur donne des exercices, j'évite absolument des cas du type 4.3 10^n ou 5.4 10^p
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Oui, c'est aussi ce que je voulais préciser. Je crois me souvenir avoir appris la notion d'ordre de grandeur avant d'avoir vu le log. Dans ces conditions il est très difficile pour le prof de justifier le valeur de $\sqrt{10}$ comme seuil, et $5,xx$ fait aussi bien l'affaire. Après coup cependant, $\sqrt{10}$ est nettement mieux.
    Après je bloque.
  • Pourquoi préférer la moyenne géométrique ?
    Comme ça ? Ou bien a-t-on une raison plus pertinente ?
    C’est pour que ce soit une puissance de 10 ? Je trouve ça moche (je suis très partial !).

    Faut-il vraiment théoriser l’ordre de grandeur, en 1ère ?

    Je ne me moque pas, et ne suis pas ironique.
  • Dom, je n'ai pas dit autre chose, autour de 5 convient très bien en 1ère. Seulement je ne vois pas non plus pourquoi tergiverser entre 5 et 5.5, car s'il fallait argumenter pour une valeur, je pencherais nettement pour ... ni l'une ni l'autre.
    Après je bloque.
  • En effet.
    L’ordre de grandeur marque notre esprit humain qui compte en base dix.
    J’oserais dire (avant la théorie !) que c’est le chiffre de plus haut rang qui donne l’ordre de grandeur.
    Est-on de l’ordre du $mm$, du $cm$, du $dm$, du $m$, etc. ?

    Ainsi, le 5 me semble disons « logique » (acception du langage courant) pour départager grossièrement (« il faut bien une règle ! », quoique…).

    Intuitivement je ferais plutôt passer à la puissance supérieure quand le chiffre est au moins 8.
    En gros : 800 c’est de l’ordre du millier mais 700 … pfff ? Je ne sais pas…
  • L'argument que je mentionnais est que si tu traces les puissances de $10$ sur un axe, en échelle logarithmique base 10, le point pile au milieu de $10^n$ et $10^{n+1}$ ne représente pas $5.10^n$ mais $10^{n+1/2}$, soit environ $3.2 \times 10^n$. C'est là qu'il y a ambiguité pour l'ordre de grandeur, si on le définit comme j'ai fait. Après, c'est sans intérêt d'expliquer ça à quelqu'un qui n'a jamais entendu parler de log.
    Après je bloque.
  • Oui, oui, je vois bien.
    Je ne sais pas dire si la préférence pour le 3,2 est un excès de zèle de matheux (que j’aurais pu avoir il y a quelques années, ou bien qu’il m’arrivera d’avoir certains jours) ou bien quelque chose de plus pertinent.
    La notion « ordre de grandeur » est tout de même intuitivement liée à la psychologie de celui qui lit un article scientifique.
    Et dès qu’on veut psychologiser les maths ou plutôt mathématiser la psychologie, je trouve cela pompeux.

    C’est écrit dans les programmes explicitement, cette histoire ?

    Une remarque : je ne sais plus le nom, mais je retrouverai, il existe un site où pour chaque grandeur, de l’infiniment petit à l’infiniment grand, on propose quelque chose qui en a la taille (en gros : virus, insecte, humain, monument, planète, etc.).
    C’est en anglais… mais c’est tout ce que je sais.
    Cela me semble bien plus intéressant à faire passer.
  • Je n'argumentais pas en faveur de 3.2, j'argumentais pour ne pas avoir à hésiter entre 5 et 5.5.
    Au lycée, j'ai appris "autour de 5" et c'est tout. Pas de problème avec ça.

    Après pour des exemples, je ferais calculer plein de "accéleration dûe à la présence de" (la terre/la lune/le soleil/Saturne/Jupiter/Mars, etc) pour (la terre, la lune, un homme sur terre, etc), et comparer les ordres de grandeur.
    Après je bloque.
  • Lourran: Comment justifie-tu que le seuil est 5 ? Il y a contradiction entre "on prend la puissance de 10 la plus proche" et "le seuil est 5".
  • Heu ... si x est entre $10^n$ et $5\ 10^n$ exclu, il est plus proche de $10^n$; et s'il est entre $5\ 10^n$ et $10^{n+1}$, il est plus proche de $10^{n+1}$. Non ?

    Cordialement.

    NB : Voulais-tu parler de 5,5 ?
  • Comment vont être utilisés ces ordres de grandeur?

    Si c'est pour en faire une belle théorie alors je n'ai pas de réponse.
    Si c'est pour anticiper la valeur d'un résultat et/ou éviter des fautes alors je ne conseille pas d'arrondir au plus proche, mais plutôt de compenser les autres ordres de grandeur: si un coup j'arrondis au supérieur, alors l'autre valeur je l'arrondis à l'inférieur (dans le cas de multiplications ou d'additions). Ca me semble bien plus efficace et ça développe une meilleure intuition à mon sens.
  • 200 est plus proche de 1000 que 2000 mais si x est le bon résultat et que l’on doit estimer ce résultat, qu’est-ce ce qui est préférable? Trouver le double ou le cinquième du bon résultat?(:P) Intuitivement je pense que beaucoup répondront le double (à tort ou à raison je ne sais pas...).
  • Biely,

    je ne comprends pas de que tu racontes, l'ordre de grandeur de 200 est les centaines et celui de 2000 est les milliers. On ne cherche pas à comparer des nombres, mais à donner pour un nombre, son ordre de grandeur.

    Cordialement.
  • Bonjour.

    Pour moi, un ordre de grandeur se voit dans la notation scientifique : un nombre en écriture décimale compris entre 1 et 10 (10 exclu) multiplié par la puissance entière de 10 nécessaire.

    Exemples :

    _ $200 = 2 × 10^2$ : l'ordre de grandeur est $10^2$
    _ $2250 = 2.25 × 10^3$ : l'ordre de grandeur est $10^3$
    _ $0.0318 = 3.18 × 10^{-2}$ : l'ordre de grandeur est $10^{-2}$.

    Ce n'est pas parfait, mais les comparaisons d'ordres de grandeurs sont du niveau des comparaisons entre entiers, et entre valeurs de même ordre de grandeur, c'est les comparaisons de mantisses qui permettent de conclure (comparaison de décimaux).

    Cela s'applique mal aux expressions mathématiques exactes car ce n'est pas prévu pour.

    À bientôt.

    [Édit : Correction d'un empressement, merci gerard0, sinon pour ta remarque, j'ai bien précisé que ce n'était pas parfait.]

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Heu ... tu n'as pas oublié les puissances de 10 ? "'ordre de grandeur est 2 " ??? "'ordre de grandeur est 102" parait moins irréaliste.

    Cordialement.

    NB : Et l'ordre de grandeur de 9,9999 102 est-il raisonnablement 102 ?
  • Pour revenir sur cette dernière remarque de gerard0, elle fait intervenir l'arrondi par valeur la plus proche.

    Sur cette base $5.001 × 10^2$ et $4.999 × 10^2$ ne sont pas sensés avoir même ordre de grandeur.

    Je reste en recherche d'une solution à ce problème.

    Une piste pourrait être les dimensions normalisées issues des séries de Renard (des nombres qui divisent l'échelle logarithmique en intervalles égaux entre deux graduations principales), il me semble qu'on a déjà évoqué cela sans l'exprimer complètement il y a quelques mois.

    À bientôt.

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  • Euh ... Je n'ai proposé aucune méthode. Mais je te fais remarquer que l'arrondi à 1 ou deux chiffres significatifs de $5,001\times 10^{2}$ est le même que celui de $4,999\times 10^{2}$, c'est $5\times 10^{2}$ à un chiffre et $5,0\times 10^{2}$ à deux chiffres. Tu devrais revoir cette notion élémentaire d'arrondi.
    Par contre, et par convention, l'arrondi à la dizaine la plus proche n'est effectivement pas le même. Mais qui irait arrondir environ 5 à 0 ou à 10 ? Il faut être raisonnable.
    Un ordre de grandeur de $5,001\times 10^{2}$ est $5\times 10^{2}$; un point c'est tout !

    Cordialement.
  • Juste, j'ai confondu avec la troncature.

    Effectivement il faut que je me repose.

    Bonne continuation.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • De toutes façons, quelle que soit la définition qu'on choisit, on a un problème.
    On veut une fonction en escalier, discontinue.
    Donc, pour chaque point où la fonction n'est pas continue, on a 2 réels, très proches l'un de l'autre, pour lesquels on dit qu'ils n'ont pas le même ordre de grandeur.

    On peut reformuler le besoin en disant : on dit que 2 nombres a et b ont le même ordre de grandeur ssi a/b est compris entre 1/10 et 10.
    Mais avec un autre problème à gérer. On peut avoir 3 nombres a,b et c, tels que a et b aient le même ordre de grandeur, b et c aient le même ordre de grandeur , mais a et c n'aient pas le même ordre de grandeur.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Inutile de perdre du temps, la notion d'ordre de grandeur est une notion floue, qui ne sert pas à faire des démonstrations (tout au plus à justifier des contre exemples). Elle est à connaître pour le calcul de tête ou à la main (règles simples et approximatives sur les opérations) et surtout dans les maths appliquées, où les ordres de grandeur sont connus (une vitesse dont l'ordre de grandeur est 2 millions de km par seconde s'interprète immédiatement comme un calcul faux).

    Cordialement.

    NB : On a le même problème avec les valeurs approchées et avec les arrondis. Tout ça est à manipuler avec intelligence.
  • Tiens, on pourrait même dire qu’un ordre de grandeur est une classe de valeurs approchées MAIS que ces classes ne sont pas disjointes.

    Les valeurs approchées sont tout de même bien définissables en ajoutant la précision souhaitée.
  • Oui, tout comme l'ordre de grandeur en définissant une notion précise peu utile :-)
    Mais il est dangereux d'approcher une valeur approchée même à tant près.

    Cordialement.
  • Il me semble que $5,3\times 10^6$ est plus proche de $10^6$ que de $10^7$ et pourtant 5,3>5.
  • Bonsoir Bulledesavon.

    Effectivement, mais l'ordre de grandeur n'est ni 106, ni 107. C'est 5 106.

    Vouloir n'utiliser que des puissances de 10 fausse la notion d'ordre de grandeur.

    On peut dire aussi que c'est un nombre à 7 chiffres, ce qui est peu utilisable.

    Il serait peut-être temps de cesser cette tétracapillotomie.
  • En valeur absolue, oui.
    Mais en proportion, non. Il y a un coefficient de 5.3 dans un cas, et de 1.9 dans l'autre.
    Et quand on parle d'ordres de grandeur, on s'intéresse à peu près toujours aux proportions.

    Tu peux défendre la limite à 5.5 ; sur un strict plan arithmétique, tu as raison. Si tu veux passer pour un original, tu as raison aussi.
    Mais si tu veux faire preuve de bon sens, oublie ce 5.5.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Tout comme Gérard, si on enlève le chiffre significatif, ce n'est plus très significatif!
  • Lourrran comment obtiens-tu 1.9 ?
  • 10/5.3 donne environ 1.9
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour,

    Quand on dit « ordre de grandeur de la centaine de mètres » ça veut dire « quelques centaines de mètres ».

    Il faut donc arrondir les puissances par le bas.

    Donc 500 mètres sont de l’ordre de la centaine de mètres.

    Clair ?
  • Et 999 m sont "de l'ordre de la centaine de mètres" ?
  • YvesM
    Donc, d'après toi, l'élève devrait cocher la case $10^2$ à la question: quelle est l'ordre de grandeur de 900 mètres?
    Réponse A: $10^2$
    Réponse B: $10^3$
    C'est en contradiction avec la définition de Bulledesavon donné dans son premier message et que je retrouve souvent dans le cas d'un nombre écrit en notation scientifique (je parle de placer le curseur arbitrairement à 5 et non pas cette histoire de "plus proche" qui peut se comprendre de manière différente selon l'échelle linéaire ou logarithmique).
    Personnellement j'aurais une préférence pour placer le curseur à a=$\sqrt10$
  • Bonjour,

    @gerard0 : Oui, 999 mètres sont de l'ordre de la centaines de mètres.

    @biely : Dans un exercice, si on donne une définition, on l'applique et c'est tout.

    900 mètres sont de l'ordre de la centaines de mètres.
  • Il faut et suffit de s'en tenir à la première définition. Et surtout se demander l'intérêt qu'ont des élèves à entendre parler d'ordre de grandeur... Ce que propose YvesM, c'est parfait pour perdre tous les élèves.
  • Bonjour,

    Je dis que quand on donne une définition, on l'applique : @kioups, tu penses que les élèves sont perdus avec ça ?

    Il faut bien une définition pour définir l'ordre de grandeur de 1 000, par exemple, ou encore de 600. On applique la définition et c'est tout.
  • YvesM a écrit:
    Je dis que quand on donne une définition, on l'applique
    Même si elle est idiote ?

    Bon, tu es déjà intervenu là dessus avec des arguments de physicien pour une notion très floue et pa mathématique du tout ... C'est ton problème. Mais ne demande pas aux autres de trouver cette définition utile.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Je parle de la définition mathématique !
  • La puissance de 10 la plus proche du nombre, ça doit convenir. Et donner du sens.
  • Il n'y a pas de "définition mathématique" de "ordre de grandeur".
  • Bonjour,

    Une définition du type suivant me conviendrait bien:
    L'ordre de grandeur de $x$ est le nombre de la forme $A\times10^n$ le plus proche, où $A \in \{1 ... 9\}$ et $n \in \mathbb{Z}$ (et $A \in \{-9 ... -1\}$ si $x<0$ et enfin $0$ si $x=0$).

    Cordialement,

    Rescassol
  • Le problème de départ est que la première définition assez floue "l'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre" ne colle pas avec la deuxième qui a le mérite d'être claire et que l'on voit souvent dans le cas d'un nombre écrit en écriture scientifique: "$a*10^n$ a un de ordre de grandeur de $10^n$ si a<5 et $10^{n+1}$ si a>5"
    Il faudrait mettre le "curseur" à 5,5 ou $\sqrt10$ mais pas à 5, à moins de vouloir couper la poire en deux si j'ose dire...:-D
    La justification de 5 serait que 5 est la médiane de la série 1;2;3;4;5;6;7;8;9 mais on s'éloigne un peu de la première définition.
    Si on fait placer les points A(10) B(42,35) et C(100) l'élève voit bien que B est plus "proche" de A que de C mais si on doit placer les poins A(10) B(4,235*10) C(10^2) D(10^5) E(5,236*10^5) on utilise du papier logarithmique et dans ce cas l'élève constate que B est plus "proche" de C que de A.


    Rescassol
    Oui, mais dans ce cas c'est synonyme d'arrondir à la centaine près etc.
  • Un cours de maths, ça sert à apprendre à des gamins à se débrouiller dans la vie, donc à comprendre ce qu'ils lisent ou entendre, dans un premier temps, et ensuite, ça sert à s'exprimer correctement.

    Commençons par apprendre à lire des ordres de grandeurs ... et ensuite on apprendra à écrire des ordres de grandeurs.

    Si je lis dans la presse que 'la fortune de telle personne est estimée à 37 Millions d'euros', je vois bien qu'on me donne un ordre de grandeur. ( je souligne le mot un, pronom indéfini)
    Le type a pris la peine de donner 2 chiffres significatifs. Ca nous donne un intervalle assez précis.
    Mais il a utilisé le mot 'estimé', donc il nous prévient que c'est sujet à marge d'erreur.
    Paradoxalement, s'il avait dit 35 Millions d'euros, on a toujours 2 chiffres significatifs, mais ça nous donne un intervalle moins précis.
    37M, je traduis ça par : entre 36M et 38M
    Et 35M, je traduis ça par : entre 32M et 38M

    Et si on nous dit que la distance Terre-Lune est de l'ordre de 100 000 km, alors je comprends qu'elle est probablement entre 50 000 km et 500 000 km.
    On nous donne un seul chiffre significatif, et en plus, ce chiffre est un 1 ... Donc intervalle très large.

    Je suis bien conscient que tout ça n'est pas très mathématique. Mais qui mieux que le prof de maths peut expliquer ces trucs non-mathématiques à des gamins.

    Quand cette phase de lecture des ordres de grandeurs sera assimilée, on passera à l'exercice suivant, l'écriture.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour,

    A $50$ près quand on a plusieurs centaines, c'est raisonnable.
    De la même façon, je peux dire que j'ai environ $70$ ans si j'ai entre $65$ et $75$ ans.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    Je préfère dire que la distance Terre-lune est de l'ordre de $400 000$ km.
    L'erreur relative est acceptable. avec $50 000$, elle ne l'est pas.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Je ne parle pas de l’ordre de grandeur mais d’un ordre de grandeur, qui sert à estimer le résultat d’un calcul à la louche.
    Je préfère ne pas donner ce genre de chose en contrôle, ça n’a aucun intérêt et ce n’est pas évaluable.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Mon exemple Terre-Lune est donc mal adapté.
    Effectivement, on a réussi à faire des mesures assez précises de la distance Terre-Lune, et on sait donner un ordre de grandeur de 384400km ( c'est un ordre de grandeur ... sinon, drôle de coïncidence que le nombre soit justement un multiple de 100 !) Et donc on va dire 384400, ou 400000 ou peut-être même 500000 ... mais certainement pas 100000.

    Mais on peut imaginer des mesures, pour lesquelles on est incapable de donner une estimation très précise, et donc on va donner un nombre du type 100000 ou 1000000 , une puissance de 10.
    Et là, le lecteur, voyant que c'est une puissance de 10, traduit lui même cela par un intervalle de la forme [0.5 10^n, 5 10^n]
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Aller de la Terre à la Lune, c'est faire 1000 fois Paris-Nantes. Sans les bouchons.
  • Bonjour,

    la formalisation de Rescassol me convient parfaitement, elle est conforme au sens que la majorité de mes collègues et moi-même donnons à la notion d'ordre de grandeur au quotidien.

    Cordialement. Bonne journée à tous.
  • Bonjour,

    Wiki donne une définition.
  • Donc si on te demande d’estimer à la louche la somme 813,845+199,015, tu vas répondre 200 parce que l’ordre de grandeur de 813,845 et de 199,015 est 100 ? Non, tu vas répondre comme à peu près tout le monde 100 parce que tu vas arrondir 813,845 en 800 et 199,015 en 200.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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