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Le cardinal d'une classe d'équivalence

Bonsoir, je bloque sur une question dans un problème sur lequel je suis tombé. On a G un groupe et R une relation sur G telle que pour tout x et y dans G
xRy (=) y=gxg^(-1) avec g dans G.

Et dans une question je dois montrer que le cardinal de G est celui de Ha multiplié à celui de cl(a).
Je précise que Ha={g dans G | gag(^-1)=a} et on nous propose également de considérer f qui va de G sur cl(a) et qui à g associe gag^(-1).

La difficulté est dans le fait que f n'est pas un morphisme de groupe et que donc on ne peut pas se servir de la propriété f(x) ^(-1)=f(x^-1)

Je sollicite donc votre aide qui me sera précieuse. N'hésitez pas à me dire si quelque chose semble bizarre, j'ai peut être fait une faute d'énoncé.

Réponses

  • Je tiens à préciser que le titre est erroné. De base je voulais poser une autre question mais une question précédente s'est avérée fausse.
  • C'est en fait un cas particulier d'un théorème important.

    L'idée devrait te rappeler un peu la manière dont on montre le théorème Im(g) = G/Ker(g).
    Pour être plus précis, regarde donc l'application qui à $g \in G$ associe $gag^{-1}$.
  • C'est bien la démonstration faisant intervenir les antécédents ?

    (Si c'est le cas, pour un morphisme c'est assez simple. Mais comme je l'ai dit ce n'en est pas un.
    J'avais de base f(x) = f(x0) qui induit f(x.x0^-1).f(a)=a et donc x s'écrit x0.a.k où k est dans Ha. Et ensuite avec une bijection simple on répondrait à la question. Mais c'est avant que mon prof me fasse remarquer que ce n'est pas possible puisque je suppose que c'est un morphisme dans ce cas.)

    Sinon si vous me parlez d'une autre démonstration il faudra que je me renseigne sur le sujet.
    En tout cas merci beaucoup pour votre réponse
  • L'idée de la preuve du théorème d'isomorphisme est en fait simple avec du recul. Elle repose sur le fait qu'avec un tour de magie on peut rendre toute fonction bijective.
    Soit donc f une fonction de E dans F.

    Comment la rendre surjective ? Simple, je remplace F par f(E).

    Le plus dur est de la rendre injective.
    L'idée est de regrouper ensemble tous les éléments qui ont la même image pour faire comme s'ils étaient tous le même élément en fabriquant un nouvel ensemble plus petit que celui de base. Tu me vois venir, on definit une relation d'équivalence.
    On pose donc xRy si f(x)=f(y). La fonction f se définit naturellement sur l'ensemble E/R en associant à un élément la valeur constante que prend f sur toute sa classe.
    En prenant la nouvelle fonction f définie sur E/R, on a une jolie bijection. Fin du tour !

    Mais le tour de magie peut encore être rendu plus impressionnant dans le cas d'un groupe. Parce que si en général la relation R ne sert pas à grand chose hors théorie puisqu'on n'a pas moyen en général de caractériser les éléments ayant même image par f, là c'est en fait très simple :$ f(x)=f(y)$ ssi $f(x-y)=0$ ssi $x-y \in Ker(f)$.
    D'où la fameuse relation d'équivalence qui peut probablement paraître bizarre quand on présente la preuve.

    Bon, ici c'est la même idée. Pars donc de la fonction que je t'ai donnée et essaie de la transformer en bijection avec la notice du tour de magie que je viens de te dévoiler, sans avoir peur de trahir le grand secret convoité de tous les mathématiciens.
  • Merci beaucoup pour votre aide. Vous expliquez vraiment très bien !
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