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Lebesgue-intégrable

Bonjour
A-t-on l'implication suivante ?

Si $f$ est Lebesgue intégrable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors l'intégrale généralisée de $f$ sur $I$ est absolument convergente.

Merci.

Réponses

  • Bonjour.

    Quand tu dis que $f$ est Lebesgue-intégrable sur un intervalle $I$, tu veux dire que $f\times 1_{I}$ est Lebesgue-intégrable, je suppose. Et l'intégrale généralisée est celle de Riemann ? Dans ce cas, la réponse est non, pense par exemple à la fonction indicatrice des rationnels sur [0;1], Lebesgue-intégrable, mais pas Riemann-intégrable, même généralisée.

    Cordialement.
  • Encore un de ces fils dans lesquels ce que chacun entend par "intégrable" est un secret trop bien gardé.
  • Pourriez vous me donner un exemple d’une integrale généralisée semi-convergente mais non Lebesgue intègrable? Merci
  • $\displaystyle \int_{0}^{+ \infty}\frac{\sin(x)}{x}dx\ $ devait convenir.
  • Une remarque en passant. « Lebesgue intégrable » n'est pas français, c'est un barbarisme. Il est vrai que bien des profs de fac l'écrivent au tableau ou même sur papier relié, parce que leurs profs l'ont fait et qu'ils ont donc raison, etc. etc.

    Je n'ai pas du tout le niveau M1, dommage il a l'air bien le livre. OS

  • Ha ?
    Que veux-tu dire, Sato ? Un abus de langage pour « intégrable pour la mesure de Lebesgue » ? ou autre chose du même ordre ?

    Si l’on remplace Lebesgue par Riemann, fais-tu la même objection ?
  • L'objection est que c'est un anglicisme, c'est tout.
  • Les anglicismes sont tout à fait normaux quand il n'y a pas d'équivalent français. ici, je n'en vois pas (une périphrase n'est pas une bonne idée).
  • C'est l'intégrale au sens de Lebesgue. On pourrait dire : l'intégrale de Lebesgue.
    J'aimerais voir la tête du boucher à qui on demande un morceau de viande four-cuisinable, du boulanger à qui on demande de la Seigle-farine, du garagiste à qui on demande un rendez-vous pour faire réviser sa Peugeot-voiture.

    Je n'ai pas du tout le niveau M1, dommage il a l'air bien le livre. OS

  • Ça signifie surtout que l'intégrale est finie.
  • Ok, je ne vais pas me battre.
    Je comprends quand même que l'adjectif "intégrable" n'est pas un barbarisme. Si ?
    Je comprends ensuite que l'éventail des théories de l'intégration suggère de préciser dans quel "sens" on définit cette intégrabilité.


    On voit parfois R-intégrable ou L-intégrable ou encore KH-intégrable (dont je ne peux m'empêcher de penser à Creutzfeldt-Jakob même si l'on est d'accord que cela n'a rien à voir, il faudrait que je consulte...).

    La proposition "on pourrait dire l'intégrale de Lebesgue" n'est pas commode car on veut qualifier une fonction $f$ par "la fonction $f$ est .....".

    Remarque : j'entends dans le langage politique "untel est Macro-compatible", c'est cette manière de faire qui est un anglicisme ?
    Pour une fois, je trouve l'idée assez commode surtout qu'elle ne heurte pas mon oreille par un son "anglais" comme "interview" ou "sandwich".
  • En langues, l'usage prévaut. Lebesgue-intégrable est un terme utilisé au quotidien dans les cours, les ouvrages, les exercices, etc. ainsi qu'à l'oral donc ce terme est tout-à-fait français, n'en déplaise aux vieux ronchons réacs.

    EDIT: tous les mots du dictionnaire ont été un jour des néologismes (ou "barbarisme" quand on veut râler pour rien). Y compris le mot intégrable.
  • Personnellement, je trouve ce sujet intéressant, mais un peu délicat, les nuances entre intégrales de Riemann et Lebesgue sont plusieurs, mais quand même ça reste vague, mais en cherchant le bon sens, Lebesgue est inventé pour faciliter l'intégration sur des ensembles un peu compliqués, (inspiré de la notion du tribu) ce qui n'est pas valide au sens de Riemann, qui impose une fonction continue par morceaux, donc Riemann est plus accessible comme début d'apprentissage : (des fonctions qui sont simples à intégrer), puis Lebesgue, ça ouvre encore le champ, merci.
  • Non. Il existe des fonctions non continues par morceaux qui sont Riemann-integrables. Cette théorie, contrairement à ce que le bidouillage des CPGE suggère, permet d'intégrer pas mal de fonctions, mais pas assez pour être aussi puissance que celle de Lesbegue!
  • Le gros problème de l'intégrale de Riemann est son extension en dimension supérieure et principalement, sa faiblesse à avoir un théorème type Fubini avec des hypothèses faciles d'emploi.
    On peut se reférer à l'excellent ouvrage de K. Falconner (Geometry of Fractal Sets) et à une remarque sur le sujet (l'intérêt historique des ensembles de Besicovitch et plus tard des ensembles de Kakeya) : simplement, la naissance de la théorie géométrique de la mesure initiée par Besicovitch.
  • Ce n’est pas être un vieux ronchon reac que de pointer un anglicisme grammatical inutile qui ne s’insère pas dans la langue française. Quand à l’usage, qu’est-ce que c’est ici ? Un prof qui a écrit ça au tableau par maniérisme et ses anciens étudiants qui le réutilisent sans réfléchir ? L’argument de l’usage a bon dos. Un bon anglicisme, c’est un terme nécessaire et qui va enrichir la langue en s’y insérant harmonieusement. Rien de tout cela ici, c’est du même acabit que l’absolue continuité.

    Je n'ai pas du tout le niveau M1, dommage il a l'air bien le livre. OS

  • Je dirais : ce qui compte est d'être compris ^^
    Et plus sérieusement, ces raccourcis empruntés de l'anglais ont l'excellent goût d'être parfaitement clairs et efficaces (on écrit souvent $\mu$-intégrable ou $\mu$-mesurable en parlant des mesures extérieures pour ne pas alourdir le propos).
    Si ça ne te plais pas, ne le fais pas et c'est tout ! (je ne pense pas que l'essence de la langue française ni des maths ne résident dans ces jeux syntaxiques ridicules...).
  • Sato, tu est sûr que mettre un adjectif avant le nom est un anglicisme ? Il me semblait que Maupassant avait écrit Bel Ami et que nos grammairiens du dix-septième siècle pensaient avoir fait de la belle ouvrage. Sans parler du petit papa Noël.

    Bon, il faut arrêter d'être absolutiste dans le domaine de la langue et de refuser ce qu'on ne pratique pas ! L'expression "l'absolue continuité" est tout aussi française (de construction) que "la continuité absolue".

    Et ce débat inutile pollue ce fil consacré à de vraies questions.

    Cordialement.
  • J’ai cru aussi qu’il y avait une méprise.

    Autant « Riemann intégrable » ne me gêne nullement, autant j’ai cru que Sato (;-)) parlait de l’expression (que je n’ai jamais vue !) « Le Lebesgue intégrale ». Là ça me gênerait un peu mais personne ne le fait.
  • Il y a plus de vingt cinq ans, un camarade qui enseignait en lycée professionnel m'avait raconté l'histoire suivante.
    Ses élèves lui avaient fait remarquer que la prof de français était pinauc. Etonnement de l'enseignant.
    Magnanimes, les élèves promettent de lui expliquer après le cours, si il leur paye une bière.
    Marché conclu, et finalement l'enseignant apprend, qu'aux yeux de ces jeunes hommes pleins de testostérone, la collègue est pine-au-cul-mettable. S'agissait-il, déjà, d'un anglicisme ?
  • L'ambiance entre élèves et profs était bien détendue !
  • Aïe aïe aïe. Je sors.

    Je n'ai pas du tout le niveau M1, dommage il a l'air bien le livre. OS

  • @Riemann_lapins_cretins : je vais me permettre une blague grivoise mais visiblement, il n'y avait pas que l'ambiance qui cherchait à être détendue ^^
  • On pouvait donc dire que la prof de Français était intégrable..
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