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Sous-groupes de $(\Bbb Q^*,\times)$

Bonjour !
J'aimerais déterminer tout les sous groupes (où la forme des sous groupes) du groupe $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$
J'ai lu dans un document que peut importe la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe, les sous groupes de $\mathbb{Q} $ sont de la forme $r\mathbb{Z}$ où r est un rationnel. Mais quand je regardais cette proposition j'ai observé (sauf erreur) que cela était vrai seulement si la loi qui rend $\mathbb{Q}$ groupe est +.
Si mon analyse est bonne j'aimerais savoir quelles sont donc les sous groupes de $(\mathbb{Q}^{*}, ×).$

Réponses

  • Bonjour.

    Tu pourrais commencer par chercher toi-même des sous-groupes. Il y en a deux évidents, puis on en trouve facilement toute une kyrielle.

    A toi de faire ...

    NB : Effectivement, les sous groupes de $(\mathbb Q,+)$ sont ceux que tu dis, mais dès que tu élimines 0, l'ensemble est différent, donc la question a changé.
  • Regarder la restriction du logarithme à $\Q^{*}$ et on connait les sous-groupes de $(\R,+)$.


    Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632
  • Je pense au groupe trivial formé de l'élément neutre 1.
    Je pense aussi aux groupes de la forme $(A,×)$ où $A= \{a,1,\frac{1}{a}\}.$ Avec a rationnel non nul.
    Mais n'y a-t-il pas plus générale encore ?
  • Si tu connais les sous-groupes de $(\R,+)$ tu connais automatiquement les sous-groupes de $(\Q^{*},\times)$ via le log.

    Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632
  • Ton A est-il vraiment un groupe ?
  • Quelques remarques :

    1- Le résultat est faux même pour $(\mathbb Q,+)$, on pourra penser par exemple à $\mathbb Z[\frac{1}{p}]$ qui n'est pas monogène ($p$ un nombre premier par exemple). Il est en particulier évidemment faux pour d'autres structures de groupes, où les $r\mathbb Z$ ne seront même pas forcément des sous-groupes...
    (pour $(\mathbb Q,+)$, on sait décrire les sous-anneaux de $\mathbb Q$, qui nous donnent un grand nombre d'exemples de sous-groupes, non exhaustif, "bien entendu")

    2- $( \mathbb Q^*,\times)$ a une description en tant que groupe qui est très simple, bien plus que $(\mathbb Q,+)$. En effet, grâce aux nombres premiers, il est isomorphe à $\mathbb Z/2\times \bigoplus_{p\in \mathcal P}\mathbb Z$ ($\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers). Cela fournit une floppée de sous-groupes (sans pour autant tous les décrire), par exemple pour tout sous-ensemble $S\subset \mathcal P$ on a $\mathbb Z/2\times\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou $\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou encore $\mathbb Z/2$ .

    3- L'idée d'utiliser le log de raoul.S ne serait pas mauvaise en principe, mais je doute qu'on sache décrire les sous-groupes de $(\mathbb R,+)$ (on sait qu'ils sont monogènes ou denses, mais ça ne nous renseigne pas tant que ça...)
  • Riemann_lapins_cretins écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302608#msg-2302608
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

    Je pense que toute les conditions sont vérifiées
  • nyadis : quid de $a^2, a^3$, ... ?
  • Maxtimax
    Ah ok. Sorry.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • raoul.S écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302600#msg-2302600
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Lorsque qu'on utilise la restriction du logarithme. C'est quelle propriété qui permet de faire le transfert de structure ?
  • @nyadis ma remarque ne fonctionne qu'avec $\Q_+^{*}$ et pas $\Q^{*}$ je n'avais pas fait attention. Dans ce cas avec le log on montre que les sous-groupes de $\Q_+^{*}$ sont soit denses soit monogènes.
    Maxtimax a écrit:
    on sait qu'ils sont monogènes ou denses, mais ça ne nous renseigne pas tant que ça...

    Oui je pensais que ce niveau de détails suffisait.
  • Pour faire un dessin, la dichotomie monogène/dense suffit...
  • Je compléterais la réponse de Maxtimax en disant que l'énoncé cité dans le premier message est presque correct : les sous-groupes de type fini de $(\mathbb Q, +)$ sont monogènes.
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